$L^2(Γ\backslash G)$的tempered性与高阶情形下的正特征函数
Temperedness of $L^2(Γ\backslash G)$ and positive eigenfunctions in higher rank
AI总结：
本文研究高阶对称群商空间的谱性质，证明了特定乘积群中凸紧子群对应的$L^2$空间tempered性、谱底取值及无正特征函数，并将结论推广到Anosov子群与Hitchin子群。
摘要：
设$G=\operatorname{SO}^\circ(n,1) \times \operatorname{SO}^\circ(n,1)$，$X={\mathbb H}^{n}\times {\mathbb H}^{n}$，其中$n\ge 2$。对于有限生成群$Σ$到$\operatorname{SO}^\circ(n,1)$的一对非初等凸紧表示$(π_1, π_2)$，令$Γ=(π_1\times π_2)(Σ)$。记$Γ\backslash X$上负拉普拉斯算子的$L^2$谱底为$λ_0$，我们证明：(1) $L^2(Γ\backslash G)$是tempered的，且$λ_0=\frac{1}{2}(n-1)^2$；(2) $L^2(Γ\backslash X)$中不存在正拉普拉斯特征函数。事实上，(1)-(2)的类似结论对至少两个秩一单代数群乘积中的任意Anosov子群$Γ$，以及对$\operatorname{PSL}_d(\mathbb R)$（$d\ge 3$）中的Hitchin子群$Γ$均成立。此外，若$G$是秩至少为2的半单实代数群，则(2)对$G$的任意Anosov子群$Γ$成立。
英文摘要：
Let $G=\operatorname{SO}^\circ(n,1) \times \operatorname{SO}^\circ(n,1)$ and $X={\mathbb H}^{n}\times {\mathbb H}^{n}$ for $n\ge 2$. For a pair $(π_1, π_2)$ of non-elementary convex cocompact representations of a finitely generated group $Σ$ into $\operatorname{SO}^\circ(n,1)$, let $Γ=(π_1\times π_2)(Σ)$. Denoting the bottom of the $L^2$-spectrum of the negative Laplacian on $Γ\backslash X$ by $λ_0$, we show: (1) $L^2(Γ\backslash G)$ is tempered and $λ_0=\frac{1}{2}(n-1)^2$; (2) There exists no positive Laplace eigenfunction in $L^2(Γ\backslash X)$. In fact, analogues of (1)-(2) hold for any Anosov subgroup $Γ$ in the product of at least two simple algebraic groups of rank one as well as for Hitchin subgroups $Γ<\operatorname{PSL}_d(\mathbb R)$, $d\ge 3$. Moreover, if $G$ is a semisimple real algebraic group of rank at least $2$, then (2) holds for any Anosov subgroup $Γ$ of $G$.
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