论高秩齐性空间中 horosphere（极限球面）的稠密性
On denseness of horospheres in higher rank homogeneous spaces
AI总结：
本文研究高秩齐性空间中 horosphere 轨道的稠密性，证明 horospherical 极限点与 $NM$、$N$ 轨道稠密性等价，并指出一般 Anosov 空间中 $NM$-极小性失效。
摘要：
设 $G$ 为一个连通的半单实代数群，$\Gamma<G$ 为 Zariski 稠密的离散子群。令 $N$ 表示 $G$ 的一个极大 horospherical（极限球）子群，$P=MAN$ 为极小抛物子群，即 $N$ 的正规化子。令 $\mathcal{E}$ 表示 $\Gamma\backslash G$ 中唯一的 $P$-极小子集，并令 $\mathcal{E}_0$ 为一个 $P^\circ$-极小子集。我们考虑 Furstenberg 边界 $G/P$ 中 horospherical 极限点的概念，并证明对于任意 $[g]\in\mathcal{E}_0$，下列命题等价：(1) $gP\in G/P$ 是一个 horospherical 极限点；(2) $[g]NM$ 在 $\mathcal{E}$ 中稠密；(3) $[g]N$ 在 $\mathcal{E}_0$ 中稠密。(1) 与 (2) 的等价性在秩一情形下由 Dal'bo 给出。我们还注意到，与秩一 Lie 群的凸余紧群不同，$\mathcal{E}$ 的 $NM$-极小性在一般 Anosov 齐性空间中并不成立。
英文摘要：
Let $ G $ be a connected, semisimple real algebraic group and $Γ< G$ be a Zariski dense discrete subgroup. Let $N$ denote a maximal horospherical subgroup of $G$, and $P=MAN$ the minimal parabolic subgroup which is the normalizer of $N$. Let $\mathcal{E}$ denote the unique $P$-minimal subset of $Γ\backslash G$ and let $\mathcal{E}_0$ be a $P^\circ$-minimal subset. We consider a notion of a horospherical limit point in the Furstenberg boundary $ G/P $ and show that the following are equivalent for any $[g]\in \mathcal{E}_0$: (1) $gP\in G/P$ is a horospherical limit point; (2) $[g]NM$ is dense in $\mathcal{E}$; (3) $[g]N$ is dense in $\mathcal{E}_0$. The equivalence of (1) and (2) is due to Dal'bo in the rank one case. We also observe that unlike convex cocompact groups of rank one Lie groups, the $NM$-minimality of $\mathcal{E}$ does not hold in a general Anosov homogeneous space.
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