关于Polya问题的一些充分条件
Sufficient conditions for a problem of Polya
AI总结：
本文推广了Polya型经典结果，利用Corvaja-Zannier技巧和Schmidt子空间定理的应用，证明了在群环元素作用下代数数满足无穷多次代数整数条件时必为代数整数，并给出有理函数及二元递推序列的相应版本。
摘要：
设 $α$ 是一个非零代数数。设 $K$ 是 $\mathbb{Q}(α)$ 的伽罗瓦闭包，其伽罗瓦群为 $G$，并设 $\bar{\mathbb{Q}}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包。在本文中，除了其他结果之外，我们证明了以下结论。如果 $f\in \bar{\mathbb{Q}}[G]$ 是群环 $\bar{\mathbb{Q}}[G]$ 中的一个非零元素，且 $α$ 是一个给定的代数数，使得对无穷多个自然数 $n$，$f(α^n)$ 都是非零代数整数，那么 $α$ 是一个代数整数。这一结果推广了 Polya [11]、Corvaja 和 Zannier [2] 以及 Philippon 和 Rath [9] 的结果。我们还证明了该结果对于具有代数系数的有理函数的类似版本。受 B. de Smit [4] 的一个结果启发，我们证明了对于非零代数数的二元递推序列，Polya 型结果的一个有限版本。为了证明这些结果，我们运用了 Corvaja 和 Zannier 的技巧，并结合了 Kulkarni 等人 [6] 的结果，这些结果是 Schmidt 子空间定理的应用。
英文摘要：
Let $α$ be a non-zero algebraic number. Let $K$ be the Galois closure of $\mathbb{Q}(α)$ with Galois group $G$ and $\bar{\mathbb{Q}}$ be the algebraic closure of $\mathbb{Q}$. In this article, among the other results, we prove the following. If $f\in \bar{\mathbb{Q}}[G]$ is a non-zero element of the group ring $\bar{\mathbb{Q}}[G]$ and $α$ is a given algebraic number such that $f(α^n)$ is a non-zero algebraic integer for infinitely many natural numbers $n$, then $α$ is an algebraic integer. This result generalizes the result of Polya [11], Corvaja and Zannier [2] and Philippon and Rath [9]. We also prove the analogue of this result for rational functions with algebraic coefficients. Inspired by a result of B. de Smit [4], we prove a finite version of the Polya type result for a binary recurrence sequences of non-zero algebraic numbers. In order to prove these results, we apply the techniques of Corvaja and Zannier along with the results of Kulkarni et al., [6] which are applications of the Schmidt subspace theorem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
