法诺曲面上的$\boldsymbol{\text{ℓ}}$-分离ACM丛
$\ell$-away ACM Bundles on Fano Surfaces
AI总结：
该研究提出极化簇上ℓ-分离ACM丛的定义，在三类法诺曲面上构造此类丛，完成两类曲面上特定秩或行列式条件的2秩ℓ-分离ACM丛分类，并证明对应分次模的连通性，推广了射影平面上的已有结论。
摘要：
我们提出了极化簇$(X, \mathcal{O}_{X}(h))$上ℓ-分离ACM丛的定义。随后我们在$(\mathbb{P}^2 , \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1))$、$(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(1,1))$以及$\mathbb{P}^2$ blow up（胀开）至多三个不共线点得到的反典范极化簇上，构造了ℓ-分离ACM丛。此外，我们给出了$(\mathbb{P}^2 , \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1))$上秩为2、满足$1 \leq \ell \leq 2$的ℓ-分离ACM丛$\mathcal{E}$的完整分类。类似地，在$(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(1,1))$上，当$\mathrm{det}(\mathcal{E}) = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(a,a)$（其中$a \in \mathbb{Z}$）时，我们也给出了这类分类。我们还证明了对应的分次模$\mathrm{H}_*^1 ( \mathcal{E}) = \underset{{t \in \mathbb{Z} }}{\bigoplus} \mathrm{H}^1 (\mathcal{E} (th))$是连通的，推广了$\mathbb{P}^2$上丛的相关结果。
英文摘要：
We propose the definition of $\ell$-away ACM bundle on a polarized variety $(X, \mathcal{O}_{X}(h))$. Then we give constructions of $\ell$-away ACM bundles on $(\mathbb{P}^2 , \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1))$, $(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(1,1))$ and the anticanonically polarized blow up of $\mathbb{P}^2$ up to three non collinear points. Also, we give the complete classification of $\ell$-away ACM bundles $\mathcal{E}$ of rank 2 for values $1 \leq \ell \leq 2$ on $(\mathbb{P}^2 , \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1))$. Similarly, on $(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(1,1))$, we give such a classification if $\mathrm{det}(\mathcal{E}) = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(a,a)$ for some $a \in \mathbb{Z}$. Moreover, we prove that the corresponding graded module $\mathrm{H}_*^1 ( \mathcal{E}) = \underset{{t \in \mathbb{Z} }}{\bigoplus} \mathrm{H}^1 (\mathcal{E} (th))$ is connected, extending the similar result for bundles on $\mathbb{P}^2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
