源于 Lie 对的 $L_{\leqslant 3}$ 代数的内部对称性
Internal symmetry of the $L_{\leqslant 3}$ algebra arising from a Lie pair
AI总结：
本文证明源于 Lie 对的典范 $L_{\leqslant 3}$ 代数存在导子 Lie 代数 $\mathrm{Der}(L)$ 的作用，该作用作为内部对称性扩展了 Maurer-Cartan 元素的规范等价性。
摘要：
Lie 对是在同一底流形上的 Lie algebroid 从 $A$ 到 $L$ 的包含关系。在早期的工作中，第三作者与 Bandiera、Stiénon 和 Xu 引入了一个典范 $L_{\leqslant 3}$ 代数 $Γ(\wedge^\bullet A^\vee \otimes L/A)$，其一元括号是由每个 Lie 对 $(L,A)$ 产生的 Chevalley-Eilenberg 微分。在本文中，我们证明对于这样的 Lie 对，存在一个相关的 Lie 代数作用，即 $\mathrm{Der}(L)$ 作用于 $L_{\leqslant 3}$ 代数 $Γ(\wedge^\bullet A^\vee \otimes L/A)$。这里 $\mathrm{Der}(L)$ 是 Lie algebroid $L$ 上的导子空间，或 $L$ 的无穷小自同构。该作用产生了 $Γ(\wedge^\bullet A^\vee \otimes L/A)$ 中 Maurer-Cartan 元素的更大范围的规范等价性，因此我们选择将 $\mathrm{Der}(L)$ 作用称为 $Γ(\wedge^\bullet A^\vee \otimes L/A)$ 的内部对称性。
英文摘要：
A Lie pair is an inclusion $A$ to $L$ of Lie algebroids over the same base manifold. In an earlier work, the third author with Bandiera, Stiénon, and Xu introduced a canonical $L_{\leqslant 3}$ algebra $Γ(\wedge^\bullet A^\vee \otimes L/A)$ whose unary bracket is the Chevalley-Eilenberg differential arising from every Lie pair $(L,A)$. In this note, we prove that to such a Lie pair there is an associated Lie algebra action by $\mathrm{Der}(L)$ on the $L_{\leqslant 3}$ algebra $Γ(\wedge^\bullet A^\vee \otimes L/A)$. Here $\mathrm{Der}(L)$ is the space of derivations on the Lie algebroid $L$, or infinitesimal automorphisms of $L$. The said action gives rise to a larger scope of gauge equivalences of Maurer-Cartan elements in $Γ(\wedge^\bullet A^\vee \otimes L/A)$, and for this reason we elect to call the $\mathrm{Der}(L)$-action internal symmetry of $Γ(\wedge^\bullet A^\vee \otimes L/A)$.
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