关于 $k$-CNF 公式的满足概率
On the Satisfaction Probabilities of $k$-CNF Formulas
AI总结：
本文针对 $k$CNF 公式满足概率问题 $k$SAT-Pr$_{>p}$ 给出完整三分法刻画，证明其属于 AC$^0$、NL-完全或 NP-完全，并基于最大满足概率公式的存在性建立核化、后门集和局部性等关键性质。
摘要：
命题公式 $ϕ$ 的满足概率 Pr[$ϕ$] := Pr$_{β:vars(ϕ) \to \{0,1\}}[β\models ϕ]$ 是指随机赋值 $β$ 使公式为真的可能性。我们研究固定 $k$ 和 $p$ 时问题 $k$SAT-Pr$_{>p}$ = {$ϕ$ 是一个 $k$CNF 公式 | Pr[$ϕ$] > p} 的复杂度。虽然 3SAT-Pr$_{>0}$ = 3SAT 是 NP-完全的，且 SAT-Pr$_{>1/2}$ 是 PP-完全的，Akmal 和 Williams 最近证明了 3SAT-Pr$_{>1/2}$ 属于 P，而 4SAT-Pr$_{>1/2}$ 是 NP-完全的；但用于证明这些显著结果的方法对例如 4SAT-Pr$_{>3/4}$ 并未给出结论，使得 $k$SAT-Pr$_{>p}$ 的计算复杂度对大多数 $k$ 和 $p$ 仍然悬而未决。在本文中，我们以三分法定理的形式给出了完整刻画：$k$SAT-Pr$_{>p}$ 要么属于 AC$^0$，要么是 NL-完全的，要么是 NP-完全的。三分法定理的证明依赖于一个新的序理论洞见：每个 $k$CNF 公式集合都包含一个具有最大满足概率的公式。这个看似简单的陈述使我们能够 (1) 对联合参数 $k$ 和 $p$ 将 $k$SAT-Pr$_{\ge p}$ 核化，(2) 证明当三分法定理断言其属于 AC$^0$ 或 NL 时，核的变量构成一个后门集，以及 (3) 证明 $k$CNF 公式 $ϕ$ 的局部性性质，即 Pr[$ϕ$] < $p$ 蕴含对于 $ϕ$ 的子句的一个子集 $ψ$ 已经有 Pr[$ψ$] < $p$，其中 $ψ$ 的大小仅依赖于 $k$ 和 $p$，并且 Pr[$ϕ$] = $p$ 蕴含 $ϕ\equiv ψ$ 对某个 $k$CNF 公式 $ψ$ 成立，其大小同样仅依赖于 $k$ 和 $p$。
英文摘要：
The satisfaction probability Pr[$ϕ$] := Pr$_{β:vars(ϕ) \to \{0,1\}}[β\models ϕ]$ of a propositional formula $ϕ$ is the likelihood that a random assignment $β$ makes the formula true. We study the complexity of the problem $k$SAT-Pr$_{>p}$ = {$ϕ$ is a $k$CNF formula | Pr[$ϕ$] > p} for fixed $k$ and $p$. While 3SAT-Pr$_{>0}$ = 3SAT is NP-complete and SAT-Pr$_{>1/2}$ is PP-complete, Akmal and Williams recently showed that 3SAT-Pr$_{>1/2}$ lies in P and 4SAT-Pr$_{>1/2}$ is NP-complete; but the methods used to prove these striking results stay silent about, say, 4SAT-Pr$_{>3/4}$, leaving the computational complexity of $k$SAT-Pr$_{>p}$ open for most $k$ and $p$. In the present paper we give a complete characterization in the form of a trichotomy: $k$SAT-Pr$_{>p}$ lies in AC$^0$, is NL-complete, or is NP-complete. The proof of the trichotomy hinges on a new order-theoretic insight: Every set of $k$CNF formulas contains a formula of maximum satisfaction probability. This deceptively simple statement allows us to (1) kernelize $k$SAT-Pr$_{\ge p}$ for the joint parameters $k$ and $p$, (2) show that the variables of the kernel form a backdoor set when the trichotomy states membership in AC$^0$ or NL, and (3) prove locality properties for $k$CNF formulas $ϕ$, by which Pr[$ϕ$] < $p$ implies that Pr[$ψ$] < $p$ holds already for a subset $ψ$ of $ϕ$'s clauses whose size depends only on $k$ and $p$, and Pr[$ϕ$] = $p$ implies $ϕ\equiv ψ$ for some $k$CNF formula $ψ$ whose size once more depends only on $k$ and $p$.
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