计算Riemann-Roch多项式与分类超Kähler四维流形
Computing Riemann-Roch polynomials and classifying hyper-Kähler fourfolds
AI总结：
本文证明满足特定拓扑假设的超Kähler四维流形必为K3$^{[2]}$形变类型，从而证实O'Grady猜想，核心方法是证明拓扑不变量与K3$^{[2]}$一致并建立相应除子类的超Kähler SYZ猜想。
摘要：
我们证明，满足一个温和拓扑假设的超Kähler四维流形属于K3$^{[2]}$形变类型。这特别证明了O'Grady的一个猜想，即具有K3$^{[2]}$数值类型的超Kähler四维流形属于K3$^{[2]}$形变类型。我们的拓扑假设涉及存在两个整的2次上同调类，它们满足特定的数值相交条件。证明中有两个主要组成部分。我们首先证明该陈述的拓扑版本，通过证明我们的拓扑假设迫使超Kähler四维流形的Betti数、Fujiki常数和Huybrechts-Riemann-Roch多项式与K3$^{[2]}$超Kähler四维流形的相应量相同。文章的关键部分随后是证明超Kähler四维流形上满足上述数值条件的除子类的超Kähler SYZ猜想。
英文摘要：
We prove that a hyper-Kähler fourfold satisfying a mild topological assumption is of K3$^{[2]}$ deformation type. This proves in particular a conjecture of O'Grady stating that hyper-Kähler fourfolds of K3$^{[2]}$ numerical type are of K3$^{[2]}$ deformation type. Our topological assumption concerns the existence of two integral degree-2 cohomology classes satisfying certain numerical intersection conditions. There are two main ingredients in the proof. We first prove a topological version of the statement, by showing that our topological assumption forces the Betti numbers, the Fujiki constant, and the Huybrechts-Riemann-Roch polynomial of the hyper-Kähler fourfold to be the same as those of K3$^{[2]}$ hyper-Kähler fourfolds. The key part of the article is then to prove the hyper-Kähler SYZ conjecture for hyper-Kähler fourfolds for divisor classes satisfying the numerical condition mentioned above.
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