薄环第二分数阶本征函数的非径向性
Nonradiality of second fractional eigenfunctions of thin annuli
摘要：
本文研究了类环域的分数拉普拉斯算子的第二Dirichlet本征值和相应的本征函数的性质。在第一部分中，我们考虑一个环的内半径$R$和外半径$R+1$。我们表明，$R$足够大的任何相应的第二个本征函数的这个环是非径向的。第二部分研究了$B_1(0)\setminus \overline{B_τ(a)}$型区域的第二特征值，其中$a$在酉球上，$0<τ<1-|a|$在酉球上.我们表明，这个值是最大化的$a=0$，如果设置$B_1(0)\setminus \overline{B_τ(0)}$没有径向第二本征函数。我们强调，我们的论文的第一部分意味着这个假设确实是非空的。
英文摘要：
In the present paper, we study properties of the second Dirichlet eigenvalue of the fractional Laplacian of annuli-like domains and the corresponding eigenfunctions. In the first part, we consider an annulus with inner radius $R$ and outer radius $R+1$. We show that for $R$ sufficiently large any corresponding second eigenfunction of this annulus is nonradial. In the second part, we investigate the second eigenvalue in domains of the form $B_1(0)\setminus \overline{B_τ(a)}$, where $a$ is in the unitary ball and $0<τ<1-|a|$. We show that this value is maximized for $a=0$, if the set $B_1(0)\setminus \overline{B_τ(0)}$ has no radial second eigenfunction. We emphasize that the first part of our paper implies that this assumption is indeed nonempty.
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