Menger曲线与一个闭双曲3-轨道流形的球面CR一致化
Menger curve and Spherical CR uniformization of a closed hyperbolic 3-orbifold
AI总结：
本文证明双曲群$G_{6,3}$在$\mathbf{PU}(2,1)$中的离散凸余紧表示的无穷远3-轨道流形是底空间为3-球面、奇异轨迹为$\mathbb{Z}_3$-锥形链环$C(6,-2)$的闭双曲3-轨道流形，回答了Kapovich猜想。
摘要：
设$$G_{6,3}=\langle a_0, \cdots, a_5| a_{i}^{3}=id, a_{i} a_{i+1}= a_{i+1} a_{i}, i \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\rangle$$为以Menger曲线为边界的双曲群。J. Granier构造了$G_{6,3}$到$\mathbf{PU}(2,1)$的离散、凸余紧且忠实的表示$ρ$。我们证明$ρ(G_{6,3})$的无穷远3-轨道流形是一个闭双曲3-轨道流形，其底空间为3-球面，奇异轨迹为$\mathbb{Z}_3$-锥形链环$C(6,-2)$。这回答了Misha Kapovich猜想10.6的第二部分。
英文摘要：
Let $$G_{6,3}=\langle a_0, \cdots, a_5| a_{i}^{3}=id, a_{i} a_{i+1}= a_{i+1} a_{i}, i \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\rangle$$ be a hyperbolic group with boundary the Menger curve. J. Granier \cite{Granier} constructed a discrete, convex cocompact and faithful representation $ρ$ of $G_{6,3}$ into $\mathbf{PU}(2,1)$. We show the 3-orbifold at infinity of $ρ(G_{6,3})$ is a closed hyperbolic 3-orbifold, with underlying space the 3-sphere and singular locus the $\mathbb{Z}_3$-coned chain-link $C(6,-2)$. This answers the second part of Misha Kapovich's Conjecture 10.6\cite{Kapovich}.
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