有界超虚元独立性及其完全 Morley 序列
Bounded ultraimaginary independence and its total Morley sequences
AI总结：
本文研究模型论中的有界超虚元独立性关系，改进Wagner的结果并证明其在超虚元参数上的完全存在性，同时刻画了完全Morley序列的等价条件与存在性。
摘要：
我们研究以下模型论独立性关系：$\def\indbu{{\rlap{\hspace11.9mu\vert}\lower7.5mu\smile}^{\\!\mathrm{bu}}} b \indbu_A\hspace3mu c$ 当且仅当 $\mathrm{bdd}^u(Ab)\cap \mathrm{bdd}^u(Ac) = \mathrm{bdd}^u(A)$，其中 $\mathrm{bdd}^u(X)$ 是在 $X$ 上有界的所有超虚元类。特别地，我们改进了 Wagner 的一个结果，证明 $b \indbu_A\hspace3mu c$ 当且仅当 $\langle \mathrm{Autf}(\mathbb{M}/Ab)\cup\mathrm{Autf}(\mathbb{M}/Ac) \rangle = \mathrm{Autf}(\mathbb{M}/A)$，并且我们建立了在超虚元参数上的完全存在性（即，对于任意超虚元集合 $A$ 和超虚元 $b$ 与 $c$，存在 $b' \equiv_A b$ 使得 $b' \indbu_A\hspace3mu c$）。扩展性随后作为直接推论得出。我们还研究了完全 $\hspace-5mu\indbu$-Morley 序列（即满足对于任意具有 $J + K \equiv^{\mathrm{EM}}_A I$ 的 $J$ 和 $K$ 均有 $J \indbu_A\hspace3mu K$ 的 $A$-不可辨序列 $I$），并证明 $A$-不可辨序列 $I$ 是 $A$ 上的完全 $\hspace-5mu\indbu$-Morley 序列当且仅当只要 $I$ 和 $I'$ 在 $A$ 上具有相同的 Lascar 强类型，$I$ 和 $I'$ 就由关系“$J+K$ 是 $A$-不可辨的”的传递、对称闭包所关联。这也等价于 $I$ 在 Shelah 早期对简单不稳定理论的研究中所定义的意义下“基于” $A$。最后，我们证明对于任意理论 $T$ 中的任意 $A$ 和 $b$，如果存在满足 $|Ab|+|T| < κ(α)$ 的 Erdős 基数 $κ(α)$，则存在 $A$ 上的完全 $\hspace-5mu\indbu$-Morley 序列 $(b_i)_{i<ω}$ 且 $b_0 = b$。
英文摘要：
We investigate the following model-theoretic independence relation: $\def\indbu{{\rlap{\hspace11.9mu\vert}\lower7.5mu\smile}^{\!\mathrm{bu}}} b \indbu_A\hspace3mu c$ if and only if $\mathrm{bdd}^u(Ab)\cap \mathrm{bdd}^u(Ac) = \mathrm{bdd}^u(A)$, where $\mathrm{bdd}^u(X)$ is the class of all ultraimaginaries bounded over $X$. In particular, we sharpen a result of Wagner to show that $b \indbu_A\hspace3mu c$ if and only if $\langle \mathrm{Autf}(\mathbb{M}/Ab)\cup\mathrm{Autf}(\mathbb{M}/Ac) \rangle = \mathrm{Autf}(\mathbb{M}/A)$, and we establish full existence over hyperimaginary parameters (i.e., for any set of hyperimaginaries $A$ and ultraimaginaries $b$ and $c$, there is a $b' \equiv_A b$ such that $b' \indbu_A\hspace3mu c$). Extension then follows as an immediate corollary. We also study total $\hspace-5mu\indbu$-Morley sequences (i.e., $A$-indiscernible sequences $I$ satisfying $J \indbu_A\hspace3mu K$ for any $J$ and $K$ with $J + K \equiv^{\mathrm{EM}}_A I$), and we prove that an $A$-indiscernible sequence $I$ is a total $\hspace-5mu\indbu$-Morley sequence over $A$ if and only if whenever $I$ and $I'$ have the same Lascar strong type over $A$, $I$ and $I'$ are related by the transitive, symmetric closure of the relation '$J+K$ is $A$-indiscernible.' This is also equivalent to $I$ being 'based on' $A$ in a sense defined by Shelah in his early study of simple unstable theories. Finally, we show that for any $A$ and $b$ in any theory $T$, if there is an Erdös cardinal $κ(α)$ with $|Ab|+|T| < κ(α)$, then there is a total $\hspace-5mu\indbu$-Morley sequence $(b_i)_{i<ω}$ over $A$ with $b_0 = b$.
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