次凸性与Hilbert-Kamke问题
Subconvexity and the Hilbert-Kamke Problem
摘要：
当$s\ge k\ge 3$和$n_1,\ldots ,n_k$是大自然数时，用$A_{s,k}(\mathbf n)$表示系统\[ x_1^j+\ldots +x_s^j=n_j\quad (1\le j\le k). \]的非负整数$\mathbf x$的解的个数。在适当的局部溶解度条件下，我们得到了当$s\ge k(k+1)$时$A_{s,k}(\mathbf n)$的渐近公式。这在凸性障碍处建立了希尔伯特-卡姆克问题的局部-全局原理。我们的论点涉及劣弧估计超越平方根取消。
英文摘要：
When $s\ge k\ge 3$ and $n_1,\ldots ,n_k$ are large natural numbers, denote by $A_{s,k}(\mathbf n)$ the number of solutions in non-negative integers $\mathbf x$ to the system \[ x_1^j+\ldots +x_s^j=n_j\quad (1\le j\le k). \] Under appropriate local solubility conditions on $\mathbf n$, we obtain an asymptotic formula for $A_{s,k}(\mathbf n)$ when $s\ge k(k+1)$. This establishes a local-global principle in the Hilbert-Kamke problem at the convexity barrier. Our arguments involve minor arc estimates going beyond square-root cancellation.
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