Darboux inversions of the Kepler problem

Adding Potentials to Superintegrable Systems with Symmetry

In previous work, we have considered Hamiltonians associated with 3 dimensional conformally flat spaces, possessing 2, 3 and 4 dimensional isometry algebras. Previously our Hamiltonians have represented free motion, but here we consider the problem of adding potential functions in the presence of symmetry. Separable potentials in the 3 dimensional space reduce to 3 or 4 parameter potentials for Darboux-Koenigs Hamiltonians. Other 3D coordinate systems reveal connections between Darboux-Koenigs and other well known super-integrable Hamiltonians, such as the Kepler problem and isotropic oscillat…

二阶微分方程的谱留数：一类新的求和恒等式与反演公式

Spectral residues of second-order differential equations: towards a new class of summation identities and inversion formulas

本文从形式幂级数的观点出发，讨论了带谱参数的微分方程。这种处理方法没有使用特征值的概念，而是引入了一个新的概念：谱留数。本文主要讨论二阶自伴问题。在这样的设置中，每个势函数确定一个谱残差序列。这种对应是可逆的，并产生一个组合反演公式。通过考虑一维量子力学精确可解势的谱留数，得到了其它有趣的组合结果。它还表明，达布变换的1维潜力对应于一个简单的否定相应的频谱残留。这一事实导致另一个组合反演公式。最后，简单讨论一下应用。考虑的题目是计数问题和可积系统。

常曲率空间中球面平均的反演公式

Inversion Formulas for the Spherical Means in Constant Curvature Spaces

本文的工作进一步发展了以下反演问题的理论，该问题在热声层析成像的快速发展领域中起着核心作用，并与偏微分方程和积分几何有着密切的联系：{ \it重建一个在$n$维球$B$中支持的函数$f$，如果$f$的球面平均值在所有以$B$边界为中心的测地球上都是已知的。}基于解析延拓的思想，我们提出了一种新的统一方法。这种方法不仅给出了欧氏空间$\bbr^n$的显式反演公式（如原始设置），而且给出了任意常曲率空间$X$的显式反演公式，包括$n$维球面和双曲空间。将所得结果应用于任意维常曲率空间中一类Euler-Poisson-Darboux方程的反问题。