调和多项式价数的概率视角
The valence of harmonic polynomials viewed through the probabilistic lens
AI总结：
本文通过概率方法构造了调和多项式，证明其零点数至少为 $\lceil n\sqrt{m}\rceil$，从而反驳了 Wilmshurst 猜想，并表明不存在线性且一致增长的价数上界。
摘要：
我们证明了存在次数为 $n$ 的复多项式 $p(z)$ 和次数为 $m<n$ 的复多项式 $q(z)$，使得调和多项式 $ p(z) + \overline{q(z)} $ 至少具有 $\lceil n \sqrt{m} \rceil$ 个零点。这提供了一系列新的反例，反驳了 Wilmshurst 猜想，即对于次数分别为 $n$ 和 $m$ 的多项式 $p$ 和 $q$，调和多项式 $p(z)+\overline{q(z)}$ 的最大价数为 $m(m-1)+3n-2$。更广泛地说，这些例子表明不存在关于价数的线性（在 $n$ 中）上界，且该上界具有一致（在 $m$ 中）的增长速率。该结果的证明使用了一种基于估计某类随机调和多项式零点平均数的概率技术。
英文摘要：
We prove the existence of complex polynomials $p(z)$ of degree $n$ and $q(z)$ of degree $m<n$ such that the harmonic polynomial $ p(z) + \overline{q(z)}$ has at least $\lceil n \sqrt{m} \rceil$ many zeros. This provides an array of new counterexamples to Wilmshurst's conjecture that the maximum valence of harmonic polynomials $p(z)+\overline{q(z)}$ taken over polynomials $p$ of degree $n$ and $q$ of degree $m$ is $m(m-1)+3n-2$. More broadly, these examples show that there does not exist a linear (in $n$) bound on the valence with a uniform (in $m$) growth rate. The proof of this result uses a probabilistic technique based on estimating the average number of zeros of a certain family of random harmonic polynomials.
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