迭代 plethysm 的部分对称性
Partial symmetries of iterated plethysms
AI总结：
本文研究迭代 plethystic 系数的部分对称性，引入推广 $ω$ 对合的翻转对合定义翻转对称函数，并通过显式公式证明两类迭代 plethysm 具有翻转对称性，同时讨论了相关序列的单峰性与渐近正态性。
摘要：
本文揭示了大规模迭代 plethystic 系数族中存在的部分对称性。所涉及的 plethystic 系数来自以单行分拆为指标的分拆函数（Schur 函数）的迭代 plethysm 在 Schur 基下的展开。这些部分对称性通过分拆上的一个对合——翻转对合（flip involution）来描述，该对合推广了普遍存在的 $ω$ 对合。具有这种部分对称性的 Schur 正对称函数被称为翻转对称（flip-symmetric）函数。只要 $λ$ 是 2 的分拆，与 $s_λ$ 进行 plethysm 的运算就保持翻转对称性。通过给出迭代 plethysm $s_2\circ s_b\circ s_a$ 和 $s_c\circ s_2\circ s_a$（其中 $a,$ $b,$ $c$ $\ge$ $2$）的显式公式，我们证明了这两类迭代 plethysm 是翻转对称的。文章最后就某些翻转对称的迭代 plethystic 系数序列的单峰性和渐近正态性给出了一些观察、评论和开放问题。
英文摘要：
This work highlights the existence of partial symmetries in large families of iterated plethystic coefficients. The plethystic coefficients involved come from the expansion in the Schur basis of iterated plethysms of Schur functions indexed by one-row partitions. The partial symmetries are described in terms of an involution on partitions, the flip involution, that generalizes the ubiquitous $ω$ involution. Schur-positive symmetric functions possessing this partial symmetry are termed flip-symmetric. The operation of taking plethysm with $s_λ$ preserves flip-symmetry, provided that $λ$ is a partition of two. Explicit formulas for the iterated plethysms $s_2\circ s_b\circ s_a$ and $s_c\circ s_2\circ s_a$, with $a,$ $b,$ and $c$ $\ge$ $2$ allow us to show that these two families of iterated plethysms are flip-symmetric. The article concludes with some observations, remarks, and open questions on the unimodality and asymptotic normality of certain flip-symmetric sequences of iterated plethystic coefficients.
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