关于Beckmann-Black问题的一个变形
On a variant of the Beckmann--Black problem
摘要：
给定一个域$k$和一个有限群$G$，Beckmann-Black问题要问的是，是否每个具有群$G$的伽罗瓦域扩张$F/k$都是具有群$G$和$E \cap \overline{k} = k$的某个伽罗瓦域扩张$E/k(T)$在某个$t_0 \in k$上的特化。我们表明，答案是肯定的任意$k$和$G$，如果放弃要求，$E/k(T)$是正常的。事实上，如果${\rm{Gal}}(F/k)$是$G$的任何给定子群$H$，我们的结果成立，并且在特殊情况$H=G$中，即使$F/k$不是正态的，我们也提供了类似的结论。我们接着导出，给定一个除环$H$和一个有限阶的$H$的自同构$σ$，所有有限群作为自同构群出现在扭多项式环$H[T, σ]$的分数斜域$H(T, σ)$上。
英文摘要：
Given a field $k$ and a finite group $G$, the Beckmann--Black problem asks whether every Galois field extension $F/k$ with group $G$ is the specialization at some $t_0 \in k$ of some Galois field extension $E/k(T)$ with group $G$ and $E \cap \overline{k} = k$. We show that the answer is positive for arbitrary $k$ and $G$, if one waives the requirement that $E/k(T)$ is normal. In fact, our result holds if ${\rm{Gal}}(F/k)$ is any given subgroup $H$ of $G$ and, in the special case $H=G$, we provide a similar conclusion even if $F/k$ is not normal. We next derive that, given a division ring $H$ and an automorphism $σ$ of $H$ of finite order, all finite groups occur as automorphism groups over the skew field of fractions $H(T, σ)$ of the twisted polynomial ring $H[T, σ]$.
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