关于$\text{SO}(1,d+1)$表示的注记
A note on the representations of $\text{SO}(1,d+1)$
AI总结：
该注记从德西特量子场论视角、用共形场论工具教学性介绍$\text{SO}(1,d+1)$的表示理论，涵盖低维及整数自旋场相关不可约酉表示的构造分类、物理框架、群特征标及与$\text{SO}(2,d)$表示的对比。
摘要：
$\text{SO}(1, d+1)$是$(d+1)$维德西特时空$\text{dS}_{d+1}$的等距群，也是$\text{R}^{d}$的共形群。本注记从德西特量子场论的视角出发，借助共形场论的工具，对$\text{SO}(1, d+1)$的表示理论做了教学性介绍。内容包括：（1）$\text{SO}(1,2)$与$\text{SL}(2,\text{R})$的所有不可约酉表示（UIRs）的构造与分类；（2）描述$\text{dS}_{d+1}$中整数自旋场的所有$\text{SO}(1,d+1)$不可约酉表示的构造与分类；（3）理解这些不可约酉表示的物理框架；（4）$\text{SO}(1,d+1)$的Harish-Chandra群特征标的定义与推导；（5）$\text{SO}(1, d+1)$与$\text{SO}(2,d)$的不可约酉表示的比较。
英文摘要：
$\text{SO}(1, d+1)$ is the isometry group of $(d+1)$-dimensional de Sitter spacetime $\text{dS}_{d+1}$ and the conformal group of $\mathbb{R}^{d}$. This note gives a pedagogical introduction to the representation theory of $\text{SO}(1, d+1)$, from the perspective of de Sitter quantum field theory and using tools from conformal field theory. Topics include (1) the construction and classification of all unitary irreducible representations (UIRs) of $\text{SO}(1,2)$ and $\text{SL}(2,\mathbb R)$, (2) the construction and classification of all UIRs of $\text{SO}(1,d+1)$ that describe integer-spin fields in $\text{dS}_{d+1}$, (3) a physical framework for understanding these UIRs, (4) the definition and derivation of Harish-Chandra group characters of $\text{SO}(1,d+1)$, and (5) a comparison between UIRs of $\text{SO}(1, d+1)$ and $\text{SO}(2,d)$.
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