Topics on Fermi varieties of discrete periodic Schrödinger operators
Wencai Liu
本文综述了离散周期薛定谔算子的费米簇的不可约性、刚性结果和嵌入本征值问题的最新进展。
This is a survey of recent progress on the irreducibility of Fermi varieties, rigidity results and embedded eigenvalue problems of discrete periodic Schrödinger operators.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Multiple wells Airy-Schr{ö}dinger operator and integrated density of states of the periodic Airy-Schr{ö}dinger operator
我们计算了实直线上周期性Airy-Schr{<$}dinger算符的积分态密度的一个显式公式。为此，我们精确地研究了周期Airy-Schr{<$}dinger算子限制在有限个周期上的谱.我们证明了这个限制的所有特征值都在周期Airy-Schr{<$}dinger算子的谱带内，没有一个在它的谱隙内.我们精确地计算出每个谱带中本征值的个数，这个个数等于周期算子被限制的周期数加1。注意，我们的结果依赖于一个半经典参数，但没有在半经典极限中说明。它们对于大于显式常数的半经典值是有效的。
On the Limiting Absorption Principle for Schr{ö}dinger operators on waveguides
本文证明了管中Schr{<$}dinger算子关于嵌入欧氏空间中的无限曲线的极限吸收原理。该论点是基于共轭算子不同于通常用于这种情况下的膨胀生成元的Schr dinger理论，并允许证明奇异波导中Schr dinger算子的限制吸收原理。
On the Limiting Absorption Principle at zero energy for a new class of possibly non self-adjoint Schr{ö}dinger operators
我们回顾了一个适用于非自伴算子的Schr{<$}dinger理论，并将这个理论应用于具有非实位势的Schr{<$}dinger算子，使用不同类型的共轭算子.我们表明，一些共轭算子允许放宽条件的衍生物的潜力，需要到现在为止。
Spectral flow and Levinson's theorem for Schrö dinger operators
本文利用谱流为具有光滑紧支撑势的 Schrödinger 算子提供了 Levinson 定理的新证明，该证明适用于所有维度及存在共振的情况，并基于谱位移函数与高能修正时间延迟表述结论。
Two dimensional Schr{\" o}dinger operators with point interactions: threshold expansions, zero modes and $L^p$-boundedness of wave operators
研究了具有多个局域点相互作用的二维Schr{\”o}dinger算子的阈值行为。我们表明，预解式可以连续扩展到阈值，在这种情况下，我们说，该运营商是正规型，或它有奇点与$s$或p-波共振，甚至与嵌入的本征值为零，其存在，我们给充要条件。只有当我们至少有三个中心时，零处的嵌入本征值才可能出现。当算子为正则型时，证明了对所有$1<p<\infty$，波算子在$L^p(\R^2)$中有界.对于单中心，我们总是在常规类型的情况下。
Decorrelation estimates for some continuous and discrete random Schr{ö}dinger operators in dimension one, without covering condition
本文的目的是建立一维随机薛定谔算子在不同能量下的解相关估计.特别地，我们在没有覆盖条件假设的情况下，建立了连续统上具有合金型势的随机算子的结果。这些结果被用来描述谱统计。
Energy decay for a system of Schr{ö}dinger equations in a wave guide
我们证明了在波导中的两个薛定谔方程的系统的指数衰减，耦合和阻尼的边界。这依赖于相应的耦合薛定谔算子在一维截面上的谱分析。我们特别表明，我们有一个谱间隙，相应的广义本征函数形成一个Riesz基础。
Non linear Schr{ö}dinger limit of bosonic ground states, again
我回顾了信息理论的量子德菲内蒂定理的变体，由于品牌和哈罗，并讨论其应用的主题玻色子平均场极限。这导致从多体量子力学中推导局部非线性薛定谔能量泛函的方法略有改进。
Y(so(5)) symmtry of the nonlinear Schr$\ddot{o}$dinger model with four-cmponents
四分量费米子的量子非线性Schr $\ddot{o}$ dinger（NLS）模型在无穷区间上表现出$Y(so(5))$对称性。证明了所构造的Yangian生成元满足Drinfel'd公式，并进一步证明了与$so(5)$代数结构相关的Yangian化给出的有理R-矩阵的一般形式之间的$RTT$关系.
Local energy decay and smoothing effect for the damped Schr{ö}dinger equation
我们证明了R^d上阻尼Schr{<$}dinger方程的局部能量衰减和光滑效应。自伴部分是与平坦度量的长程扰动相关联的拉普拉斯算子。证明是基于一致的预解式估计得到的耗散矩阵方法。所有的结果取决于我们所考虑的耗散的强度。
Low frequency asymptotics and local energy decay for the Schr{ö}dinger equation
我们证明了Schr{<$}dinger方程在渐近欧几里德背景下的低频预解式估计和局部能量衰减.更准确地说，我们超越了最优估计，通过比较扰动薛定谔算子的预解式与自由拉普拉斯算子的预解式。当谱参数接近于0时，这给出了发展这个预解式的首项。对于这一点，我们特别展示了如何将通常的预解式方法应用于广义预解式，同时应用于不同的算子。最后，我们推导出相应的演化问题的大时间渐近类似的结果。
Exponential decay for the Schr{ö}dinger equation on a dissipative waveguide
针对边界处处吸收却不满足几何控制条件的耗散波导，本文利用变量分离与横向算子特征函数的 Riesz 基性质，证明 Schrödinger 方程解呈指数衰减，并讨论负吸收指数情形。
Very-high-precision solutions of a class of Schr{ö}dinger equations
本文研究了一类Schr{<$}dinger方程特征值问题的一种数值求解方法，其数值精度达到了非常高的$P$（从几千到一百万的小数）.当仅计算特征值时，该方法的存储器需求和高精度代数运算的数量基本上与$P$成线性比例。然而，由于用于乘以高精度数的算法以$P^{1.6}$和$P\,\log P\,\log\log P$之间的速率缩放，所以我们的方法的时间要求比$P^2$增加得稍微快一些。
Limiting absorption principle for discrete Schr{ö}dinger operators with a Wigner-von Neumann potential and a slowly decaying potential
考虑${\mathbb{Z}}^d$上的离散Schr{<$}dinger算子，其扰动由长程势和Wigner-von Neumann型势之和组成.在加权吸收理论的框架下，我们改进了文献[Ma 1]中的极限吸收原理。据我们所知，这是一个新的结果，即使在一维的情况下。改进之处在于削弱了对长期潜力的假设，并改进了可预测权重。改进仅依赖于这样的事实，即膨胀的生成元（用作共轭算子）由位置算子从上界。为了利用这一点，Loewner定理的运营商单调函数调用。
The 2D Chern-Simons-Schr{ö}dinger system reduced to 1D
该研究通过引入强各向异性陷阱势，将二维Chern-Simons-薛定谔系统简化为一维五次非线性薛定谔方程，揭示了二维任意子系统在波导中的有效动力学行为。
On the ground state of the nonlinear Schr{ö}dinger equation: asymptotic behavior at the endpoint powers
本文研究了非线性薛定谔方程基态在临界幂次下的渐进行为，通过缩放分析得出了高斯函数和Aubin-Talenti代数孤子的极限，并给出了强收敛性证明及数值验证。
Approximate controllability via adiabatic techniques for the three-inputs controlled Schr{ö}dinger equation
考虑一个由受控双线性薛定谔方程描述的具有三个外部输入的系统。我们提供了一个建设性的方法来近似地引导系统从一个给定的能量水平的叠加对应于一个给定的概率分布的能量水平。该方法是基于绝热技术和工程，如果频谱的哈密顿承认本征值交叉点，相对于控制的变化，如果后者是圆锥形的。我们提供尖锐的估计误差和可控时间之间的关系，我们展示了如何通过选择特殊的控制路径来提高这些估计。
Long-time dynamics for the magnetic Schr{ö}dinger equation on the torus
本文研究二维环面上磁薛定谔流的长时间半经典测度，在几何非消失条件下证明量子唯一遍历性的动力学形式，并给出构型与动量边际的收敛阈值。
Dependence of the nonlinear Schr{ö}dinger flow upon the nonlinearity
研究非聚焦非线性Schrödinger方程在能量亚临界情况下的解对非线性幂次的依赖，探讨时间全局描述，重点分析总功率趋近于一的极限、长程效应的存在以及短程情况下散射算子的连续性。
On time dependent Schr{ö}dinger equations: global well-posedness and growth of Sobolev norms
本文考虑了具有如下形式的不定常Schr{<$}dinger线性偏微分方程：i $\partial$ t $ψ$ = L（t）$ψ$，其中L（t）是连续的自伴算子族.我们给出了抽象Sobolev空间中演化的适定性和多项式增长的条件。若L（t）= H + V（t），其中V（t）是时间上的扰动光滑算子，H是一个自伴正算子，其谱可以被包含在距离不断增加的谱簇中，我们证明了解的Sobolev范数至多增长为tPDMATHABMO，当tPDMATHABMP $\infty$，对任何$ε$ \textgreater{} 0.如果V（t）在时间上是解析的，我们改进了（log t）$γ$的界，对于某些$γ$ \textgreater{} 0。证明遵循的战略，由于豪兰，乔伊和Nenciu，绝热近似的流动。我们恢复了大部分已知的结果，并对R上的单自由度Schr{<$}dinger算子和Zoll流形上的Schr{<$} dinger算子等几种模型得到了新的估计.
Approximate controllability in small times of bilinear Schr{ö}dinger equations with magnetic drift
研究双线性薛定谔方程的小时间近似可控性，其中漂移为磁薛定谔算子，控制为电势，在两种情形下证明了该性质。
Global Energy Solutions for Normalized Linear Stochastic Schr{ö}dinger Equations
本文研究马尔可夫开放量子系统中的非线性薛定谔方程，在能量空间中证明线性方程的全局适定性，并在放宽单调性假设下证明非线性SPDE解的不可区分性，最终通过路径唯一性和归一化建立非线性随机方程的适定性。
Global Existence and Uniqueness of Solutions to the Maxwell-Schr{ö}dinger Equations
在三维索伯列夫空间中研究了Maxwell-Schr{<$}dinger方程的时间局部和整体适定性.利用Koch型和Tzvetkov型的Kohartz估计得到了低k的索伯列夫空间中的解.其中一个主要的结果是，解决方案存在的时间全球大数据。
Irreducible weight modules over the Schr{ö}dinger Lie algebra in $(n+1)$ dimensional space-time
本文研究了Schr{<$}dinger李代数$\mathfrak{s}_n$上的权表示，其中$n$是任意正整数.证明了代数$\mathfrak{s}_n$可以用多项式微分算子来实现。利用这一实现，我们给出了任意$n$的具有有限维权空间的不可约权$\mathfrak{s}_n$ -模的完全分类.所有这类模都可以用Weyl代数上的$\mathfrak{so}_n$ -模、$\mathfrak{sl}_2$ -模和模的张量积来刻画。
Inverse scattering at fixed energy for radial magnetic Schr{ö}dinger operators with obstacle in dimension two
研究了R^2 \ B（0，r 0）上径向磁Schr{<$}dinger算子在固定能量下的逆散射问题，其中r 0为任意小的正半径.假设磁势A满足规范条件，我们考虑C类光滑、径向和紧支的电势和磁场，分别记为V和B。如果（V，B）且（\tilde{V}，\tilde{B}）是属于C的两对，我们证明了如果相应的相移$δ$ 1和\tilde{$δ$} 1（即，在固定能量下的散射数据）对于所有l个$\in$ L一致，其中L个$\subset$ N^ $\star$满足M{u}ntz条件\sum \_{l个$\in$ L} \frac{1}{l} = + $\infty$，则V（x）= \tilde{V}（x）且B（x）=障碍物B（0，r_0）之外的\tilde{B}（x）。证明使用复角动量方法，在精神上接近著名的B{<$}rg-Marchenko唯一性定理。
On unique continuation for solutions of the Schr{ö}dinger equation on trees
我们证明了如果齐次树上的含时薛定谔方程的解在两个不同的时刻快速衰减，则该解是平凡的.对于自由薛定谔算子，我们利用Laplacian谱理论和复分析，得到了导致在任意时刻急剧衰减的初始条件的一个特征.然后，我们利用Colin de Verdi和Turc的紧支势的Schr dinger算子的谱分解，推广了我们在紧支势存在下的结果.最后，我们使用实变量的方法首先介绍了Escauriaza，Kenig，Ponce和Vega建立一个一般的尖锐的结果的情况下，有界的潜力。
An obstruction to small-time controllability of the bilinear Schr{ö}dinger equation
该研究利用 WKB 方法分析经典与量子 Hamiltonian 系统的小时间能控条件，并考察经典系统不能控是否构成相应双线性 Schrödinger 量子系统不能控的障碍。
On the Schr{ö}dinger-Newton equation and its symmetries: a geometric view
\SN（SN）方程是在纯粹的几何基础上，即在$(\d+1)$维牛顿-Cartan（NC）时空上的Bargmann结构方面进行重铸的。它的最大不变性群，我们称之为SN群，被确定为保耦合薛定谔和NC引力场方程的共形巴格曼自同构群。SN群的正则酉表示的工作，帮助我们恢复，特别是，一个非常具体的发生膨胀与动力学指数$z=(\d+2)/3$。
Non-linear Schr$\ddot{o}$dinger equation with time-dependent balanced loss-gain and space-time modulated non-linear interaction
本研究针对含平衡损耗-增益、线性耦合与时空调制非线性作用的一维矢量非线性薛定谔方程，通过非幺正变换与坐标变换映射为可解方程，结合超对称量子力学方法构造了多类势场下的精确局域非线性模与奇异相位解。
Logarithmic Schr{ö}dinger equation with quadratic potential
本文研究二次势下对数薛定谔方程的动力学，证明谐振势产生的广义高斯子孤立波轨道稳定，并刻画了部分约束与排斥势情形下的色散行为。
Small-time approximate controllability of the logarithmic Schr\''dinger equation
该论文证明了对数非线性薛定谔方程在双线性控制下的小时间全局近似可控性，通过结合相位控制和梯度流方法，并借助WKB分析处理非线性估计，为首个此类结果。
Scaling limits of bosonic ground states, from many-body to nonlinear Schr{ö}dinger
假设所有粒子都是独立同分布的，那么如何以及为什么可以描述一个由许多粒子组成的相互作用系统？这个问题至少和统计力学本身一样古老。它的量子版本因冷原子物理学的诞生而重新焕发活力。特别是玻色-爱因斯坦凝聚的实验创造直接询问了以下变体：为什么以及如何能够将大量非常冷的相互作用玻色子（剥夺了泡利不相容原理的量子粒子）聚集在同一个量子态？在本文中，我回顾了各种数学技术，允许证明，最低能量状态的玻色子系统的形式，在一个合理的宏观限制大粒子数，玻色-爱因斯坦凝聚。这意味着在相关的极限中，所有粒子的行为都近似为独立同分布，这是根据一个通过最小化非线性薛定谔能量泛函确定的定律。这是统计力学中证明平均场近似合理性的一个特殊例子，从基本的多体薛定谔哈密顿量开始。
Reconstruction for the time-dependent coefficients of a quasilinear dynamical Schr{ö}dinger equation
本文通过线性化方法和几何光学解，利用输入输出映射重建准线性动力学薛定谔方程中的时变系数。
Logarithmic Schr{ö}dinger equation and isothermal fluids
本文研究对数薛定谔方程与可压缩等温 Euler、Korteweg 及量子 Navier-Stokes 方程在全空间上的长时间行为，揭示两族方程之间的联系并给出启发式论证。
A Stochastic Porous Media Schr{ö}dinger Equation: Feynman-type Motivation, Well-Posedness and Control Interpretation
本文基于Feynman路径方法推导了带布朗扰动与平均场依赖的复多孔介质型Schrödinger方程，证明其适定性，并通过控制问题给出解的Brézis-Ekeland型刻画以克服复空间严格单调性限制。
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