花瓣图与书图：从1出发的最大拉普拉斯谱间隙
Petals and Books: The largest Laplacian spectral gap from 1
AI总结：
本文证明了连通图归一化拉普拉斯算子从1出发的谱间隙至多为1/2，并刻画了取等时图必为花瓣图或书图，从而给出最大间隙区间及邻域图特征值收敛速率的精确界。
摘要：
我们证明，对于任意具有 $N\geq 3$ 个顶点的连通图，关于归一化拉普拉斯算子，从值 $1$ 出发的谱间隙至多为 $1/2$。此外，我们证明等号成立当且仅当该图要么是花瓣图（当 $N$ 为奇数时），要么是书图（当 $N$ 为偶数时）。这意味着 $(\frac12,\frac32)$ 是连通图上归一化拉普拉斯算子的一个最大间隙区间。这与正则图上的 Alon-Boppana 界以及 Kollár 和 Sarnak 最近关于三次图的结果密切相关。我们的结果还为邻域图上拉普拉斯算子某些特征值的收敛速率提供了一个精确的界。
英文摘要：
We prove that, for any connected graph on $N\geq 3$ vertices, the spectral gap from the value $1$ with respect to the normalized Laplacian is at most $1/2$. Moreover, we show that equality is achieved if and only if the graph is either a petal graph (for $N$ odd) or a book graph (for $N$ even). This implies that $(\frac12,\frac32)$ is a maximal gap interval for the normalized Laplacian on connected graphs. This is closely related to the Alon-Boppana bound on regular graphs and a recent result by Kollár and Sarnak on cubic graphs. Our result also provides a sharp bound for the convergence rate of some eigenvalues of the Laplacian on neighborhood graphs.
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