使用神经网络求解Monge-Ampère方程的Dirichlet问题
Solving the Dirichlet problem for the Monge-Ampère equation using neural networks
AI总结：
针对Monge-Ampère方程的Dirichlet问题，提出基于深度输入凸神经网络的求解方法以获取唯一凸解，验证了其在含异常源函数、非平凡域及高维场景下的表现，并对比了带凸性惩罚的标准前馈网络方法。
摘要：
Monge-Ampère方程是一类完全非线性偏微分方程（PDE），在分析学、几何学以及应用科学中具有基础重要性。本文利用神经网络求解与Monge-Ampère方程相关的Dirichlet问题，并证明采用深度输入凸神经网络的 ansatz（近似解构造）可用于找到唯一的凸解。作为分析的一部分，我们研究了源函数中的奇异性、不连续性和噪声带来的影响，考虑了非平凡区域，并探究了该方法在更高维度下的表现。我们通过数值方式研究了收敛性，并基于稳定性结果给出了误差估计。我们还将该方法与另一种替代方法进行了对比，后者将标准前馈网络与惩罚非凸性的损失函数结合使用。
英文摘要：
The Monge-Ampère equation is a fully nonlinear partial differential equation (PDE) of fundamental importance in analysis, geometry and in the applied sciences. In this paper we solve the Dirichlet problem associated with the Monge-Ampère equation using neural networks and we show that an ansatz using deep input convex neural networks can be used to find the unique convex solution. As part of our analysis we study the effect of singularities, discontinuities and noise in the source function, we consider nontrivial domains, and we investigate how the method performs in higher dimensions. We investigate the convergence numerically and present error estimates based on a stability result. We also compare this method to an alternative approach in which standard feed-forward networks are used together with a loss function which penalizes lack of convexity.
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