SLE的精细正则性
Refined regularity of SLE
AI总结：
本文证明了容量参数化下SLE轨迹的精细变差与Hölder型正则性，简化SLE₈相关证明步骤并得到对应模，还对κ≥8的一致化映射证明了时间一致的正则性估计，结果通过正向Loewner微分方程分析得出。
摘要：
我们证明了SLE轨迹（在容量参数化下）的精细（变差和Hölder型）正则性结论。更准确地说，我们表明轨迹具有有限的ψ-变差，其中ψ(x)=xᵈ(log 1/x)⁻ᵈ⁻ᵋ，以及Hölder型模φ(t)=t^α(log 1/t)^β，这里d和α是SLEₖ的最优p-变差和Hölder指数，它们此前已由Viklund、Lawler（2011）和Friz、Tran（2017）确定。对于SLE₈，我们简化了Kavvadias、Miller和Schoug（2021）证明中的一个步骤，得到模φ(t)=(log 1/t)⁻¹/⁴(log log 1/t)^(2+ᵋ)。最后，对于κ≥8，我们证明了一致化映射的正则性估计在时间上一致成立，即当κ>8时，supₜ|f̂ₜ’(u+iv)|≲v^(2α-1)(log 1/v)^β；当κ=8时，为v⁻¹(log 1/t)⁻¹/⁴(log log 1/t)^(1+ᵋ)。我们的结果通过分析正向Loewner微分方程得到（与其他提及的分析反向方程的工作相反）。
英文摘要：
We prove refined (variation and Hölder-type) regularity statements for the SLE trace (under capacity parametrisation). More precisely, we show that the trace has finite $ψ$-variation for $ψ(x) = x^d(\log 1/x)^{-d-\varepsilon}$ and Hölder-type modulus $φ(t) = t^α(\log 1/t)^β$ where $d$ and $α$ are the optimal $p$-variation and Hölder exponents of SLE$_κ$ which have been previously identified by Viklund, Lawler (2011) and Friz, Tran (2017). For SLE$_8$, we simplify a step in the proof by Kavvadias, Miller, and Schoug (2021), and get the modulus $φ(t) = (\log 1/t)^{-1/4}(\log\log 1/t)^{2+\varepsilon}$. Finally, for $κ\ge 8$, we prove regularity estimates for the uniformising maps that hold uniformly in time, namely $\sup_t |\hat f_t'(u+iv)| \lesssim v^{2α-1}(\log 1/v)^β$ in case $κ>8$ and $v^{-1}(\log 1/v)^{-1/4}(\log\log 1/v)^{1+\varepsilon}$ in case $κ=8$. Our results are obtained from analysing the forward Loewner differential equation (in contrast to the other mentioned works which analyse the backward equation).
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