ample锥的圆度与超凯勒流形上双拉格朗日纤维化的存在性
Roundness of the ample cone and existence of double Lagrangian fibrations on hyperkahler manifolds
AI总结：
本文证明任何满足 $b_2 > 4$ 的最大全纯超凯勒流形存在具有圆凯勒锥和符号 $(1,1)$ 的 Picard 格的形变，由此推出所有已知超凯勒流形具有双横截拉格朗日纤维化的形变，且 Kobayashi 度量在 Picard 秩非最大时消失。
摘要：
设 $M$ 为具有最大全纯的全纯（即 IHS 流形）的超凯勒流形，$K$ 为其凯勒锥，它是实 (1,1)-形式空间 $H^{1,1}(M, R)$ 中的一个开凸子集。该空间配备了一个由 Bogomolov-Beauville-Fujiki 形式的限制得到的符号为 $(1,n)$ 的典范对称双线性形式。在符号为 $(1,n)$ 的空间中，正平方向量的集合是两个凸锥的不连通并集。“正锥”是包含凯勒锥的分量。若凯勒锥等于正锥，则称其为“圆的”。具有圆凯勒锥的流形具有唯一的双亚纯模型，并对应于相应 Teichmuller 空间中的 Hausdorff 点。我们证明任何满足 $b_2 > 4$ 的最大全纯超凯勒流形都有一个形变，其凯勒锥是圆的且 Picard 格具有符号 $(1,1)$，允许两个不共线的整数迷向类。这用于证明所有已知的超凯勒流形例子都允许具有两个横截拉格朗日纤维化的形变，并且除非 Picard 秩达到最大，否则 Kobayashi 度量消失。
英文摘要：
Let $M$ be a hyperkahler manifold of maximal holonomy (that is, an IHS manifold), and let $K$ be its Kahler cone, which is an open, convex subset in the space $H^{1,1}(M, R)$ of real (1,1)-forms. This space is equipped with a canonical bilinear symmetric form of signature $(1,n)$ obtained as a restriction of the Bogomolov-Beauville-Fujiki form. The set of vectors of positive square in the space of signature $(1,n)$ is a disconnected union of two convex cones. The "positive cone" is the component which contains the Kahler cone. We say that the Kahler cone is "round" if it is equal to the positive cone. The manifolds with round Kahler cones have unique bimeromorphic model and correspond to Hausdorff points in the corresponding Teichmuller space. We prove thay any maximal holonomy hyperkahler manifold with $b_2 > 4$ has a deformation with round Kahler cone and the Picard lattice of signature (1,1), admitting two non-collinear integer isotropic classes. This is used to show that all known examples of hyperkahler manifolds admit a deformation with two transversal Lagrangian fibrations, and the Kobayashi metric vanishes unless the Picard rank is maximal.
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