渐近锐化 $s$-哈密顿指数上界
Asymptotically sharpening the $s$-Hamiltonian index bound
AI总结：
本文针对简单图的 $s$-哈密顿指数提出更紧的上界，分四种情况给出公式，并证明当 $s\to\infty$ 时该指数为 $o(\ell(G)+s+1)$，锐化了 Zhang 等人的结果。
摘要：
对于非负整数 $s\le |V(G)|-3$，若图 $G$ 移除任意 $k\le s$ 个顶点后仍为哈密顿图，则称 $G$ 为 $s$-哈密顿图。给定一个非同构于路径、圈或 $K_{1,3}$ 的连通简单图 $G$，令 $δ(G)$ 表示 $G$ 的最小度，令 $h_s(G)$ 表示使得迭代线图 $L^{i}(G)$ 为 $s$-哈密顿图的最小整数 $i$，并令 $\ell(G)$ 表示所有内部顶点度均为 2 的最长非闭路径 $P$ 的长度，且 $P$ 不能同时满足长度为 2 且位于 $K_3$ 中。对于简单图 $G$，我们建立了如下关于 $h_s(G)$ 的更好上界：\begin{equation*} h_s(G)\le \left\{ \begin{aligned} & \ell(G)+1, &&\mbox{ 若 }δ(G)\le 2 \mbox{ 且 }s=0;\\\\ & \widetilde d(G)+2+\lceil \lg (s+1)\rceil, &&\mbox{ 若 }δ(G)\le 2 \mbox{ 且 }s\ge 1;\\\\ & 2+\left\lceil\lg\frac{s+1}{δ(G)-2}\right\rceil, && \mbox{ 若 } 3\leδ(G)\le s+2;\\\\ & 2, &&{\rm 其他情况}, \end{aligned} \right. \end{equation*} 其中 $\widetilde d(G)$ 是使得 $δ(L^i(G))\ge 3$ 的最小整数 $i$。因此，当 $s \ge 6$ 时，这个关于 $s$-哈密顿指数的新上界蕴含 $h_s(G) = o(\ell(G)+s+1)$ 当 $s \to \infty$。这锐化了 Zhang 等人在 [Discrete Math., 308 (2008) 4779-4785] 中得到的结果 $h_s(G)\le\ell(G)+s+1$。
英文摘要：
For a non-negative integer $s\le |V(G)|-3$, a graph $G$ is $s$-Hamiltonian if the removal of any $k\le s$ vertices results in a Hamiltonian graph. Given a connected simple graph $G$ that is not isomorphic to a path, a cycle, or a $K_{1,3}$, let $δ(G)$ denote the minimum degree of $G$, let $h_s(G)$ denote the smallest integer $i$ such that the iterated line graph $L^{i}(G)$ is $s$-Hamiltonian, and let $\ell(G)$ denote the length of the longest non-closed path $P$ in which all internal vertices have degree 2 such that $P$ is not both of length 2 and in a $K_3$. For a simple graph $G$, we establish better upper bounds for $h_s(G)$ as follows. \begin{equation*} h_s(G)\le \left\{ \begin{aligned} & \ell(G)+1, &&\mbox{ if }δ(G)\le 2 \mbox{ and }s=0;\\ & \widetilde d(G)+2+\lceil \lg (s+1)\rceil, &&\mbox{ if }δ(G)\le 2 \mbox{ and }s\ge 1;\\ & 2+\left\lceil\lg\frac{s+1}{δ(G)-2}\right\rceil, && \mbox{ if } 3\leδ(G)\le s+2;\\ & 2, &&{\rm otherwise}, \end{aligned} \right. \end{equation*} where $\widetilde d(G)$ is the smallest integer $i$ such that $δ(L^i(G))\ge 3$. Consequently, when $s \ge 6$, this new upper bound for the $s$-hamiltonian index implies that $h_s(G) = o(\ell(G)+s+1)$ as $s \to \infty$. This sharpens the result, $h_s(G)\le\ell(G)+s+1$, obtained by Zhang et al. in [Discrete Math., 308 (2008) 4779-4785].
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