图上紧化构型的同调表示及其在 $\mathcal{M}_{2,n}$ 上的应用
Homology representations of compactified configurations on graphs applied to $\mathcal{M}_{2,n}$
AI总结：
本文利用图紧化构型空间的同调及高效自由消解，计算 $\mathcal{M}_{2,n}$ 最高权重有理上同调作为 $S_n$ 表示的结构，并给出相关重数猜想。
摘要：
我们得到了模空间 $\mathcal{M}_{2,n}$ 的最高权重有理上同调的新计算结果，等价地，即热带模空间 $Δ_{2,n}$ 的有理同调，并将其表示为 $S_n$ 的表示。这些计算对所有 $n\leq 10$ 均完整完成；对于 $n\leq 22$，则针对 $S_n$ 的特定不可约表示完成了部分计算。我们还给出了关于不可约表示 $\mathrm{std}_n$ 与 $\mathrm{std}_n\otimes \mathrm{sgn}_n$ 重数的猜想，并在 $n=22$ 以内加以验证。我们的计算通过与图的紧化构型空间的同调进行比较而实现。这些同调群带有对称群与自由群外自同构群的相互交换作用。在本文中，我们为这些同调表示构造了一种高效的自由消解，并据此逐一提取不可约表示的计算结果，从而简化了这些同调表示的计算。
英文摘要：
We obtain new calculations of the top weight rational cohomology of the moduli spaces $\mathcal{M}_{2,n}$, equivalently the rational homology of the tropical moduli spaces $Δ_{2,n}$, as a representation of $S_n$. These calculations are achieved fully for all $n\leq 10$, and partially -- for specific irreducible representations of $S_n$ -- for $n\le 22$. We also present conjectures, verified up to $n=22$, for the multiplicities of the irreducible representations $\mathrm{std}_n$ and $\mathrm{std}_n\otimes \mathrm{sgn}_n$. We achieve our calculations via a comparison with the homology of compactified configuration spaces of graphs. These homology groups are equipped with commuting actions of a symmetric group and the outer automorphism group of a free group. In this paper, we construct an efficient free resolution for these homology representations, from which we extract calculations on irreducible representations one at a time, simplifying the calculation of these homology representations.
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