阿贝尔群中的双线性 Bogolyubov 论证
A Bilinear Bogolyubov Argument in Abelian Groups
AI总结：
本文将 $\mathbb{F}_p^n$ 上的双线性 Bogolyubov 论证推广至任意有限阿贝尔群，证明对稠密子集进行行列自差替换后所得集合包含余维有界的双线性 Bohr 集类比。
摘要：
对于 $\mathbb{F}_p^n$ 的双线性 Bogolyubov 论证指出，若从稠密集 $A \subseteq \mathbb{F}_p^n \times \mathbb{F}_p^n$ 出发，进行足够多步操作，每步将 $A$ 的每一行或每一列替换为该行或列与自身的集合差，则在所得集合内可得到一个余维以 $A$ 的稠密度为界的双线性簇。本文将双线性 Bogolyubov 论证推广至任意有限阿贝尔群。即，若 $G$ 和 $H$ 为有限阿贝尔群，且 $A \subseteq G \times H$ 是密度为 $δ$ 的子集，则对 $A$ 施加上述操作所得集合将包含 Bohr 集的双线性类比，其适当定义的余维数上界为 $\log^{O(1)} (O(δ^{-1}))$。
英文摘要：
The bilinear Bogolyubov argument for $\mathbb{F}_p^n$ states that if we start with a dense set $A \subseteq \mathbb{F}_p^n \times \mathbb{F}_p^n$ and carry out sufficiently many steps where we replace every row or every column of $A$ by the set difference of it with itself, then inside the resulting set we obtain a bilinear variety of codimension bounded in terms of density of $A$. In this paper, we generalize the bilinear Bogolyubov argument to arbitrary finite abelian groups. Namely, if $G$ and $H$ are finite abelian groups and $A \subseteq G \times H$ is a subset of density $δ$, then the procedure above applied to $A$ results in a set that contains a bilinear analogue of a Bohr set, with the appropriately defined codimension bounded above by $\log^{O(1)} (O(δ^{-1}))$.
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