A Vibrating Clamped Plate Resembles a Vibrating Membrane at High Frequency
Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院数学系）
本研究针对夹紧板特征值问题，证明其特征函数可由满足亥姆霍兹方程的振荡分量近似，误差随频率指数衰减，还建立了其边界局部化的上界，表明高频下夹紧板类似振动膜。
2026-08-11 math.AP math.SP
Fourth order Saint-Venant inequalities: maximizing compliance and mean deflection among clamped plates
本文证明了 Saint-Venant 不等式的四阶类比，即在任意维度的给定体积板中，球体在均匀横向载荷下夹紧板的平均挠度最大，该方法适用于欧几里得、双曲和球面空间，并在二维欧几里得空间中扩展了小压缩与非均匀载荷的类似结果。
2025-01-25 math.AP
Positivity for the clamped plate equation under high tension
本文考虑了高张力固支板方程$γ>0$的正性问题。该方程由$Δ^2u - γΔu=f$在固支边界条件下给出。这里我们证明，给定一个正的$f$，即向上推，我们找到一个$γ_0>0$，使得对于所有的$γ\geq γ_0$，弯曲$u$确实是正的。该$γ_0$仅取决于$f$的$L^1$和$L^\infty$范数的域和比率。与Cassani和Tarsia最近的结果相反，我们的方法在所有维度上都有效。
2022-01-25 math.AP
Extremal problems for clamped plates under tension
本文研究受张力夹紧板在体积约束下的极值问题，证明球域最小化第一特征值（Szegő型不等式）并最大化扭转刚度（Saint-Venant型不等式），同时给出最优性条件。
2025-07-09 math.AP math.OC
A gap for eigenvalues of a clamped plate problem
本文研究了$n$维欧几里得空间中有界区域上固支板问题的特征值。对于任意正整数$k$，我们给出了$\sqrt {Γ_{k+1}-Γ_{1}}$和$\sqrt {Γ_{k}-Γ_{1}}$之间的间隔的估计.由Agmon和Pleijel的渐近公式可知，$\sqrt {Γ_{k+1}-Γ_{1}}$和$\sqrt {Γ_{k}-Γ_{1}}$之间的间隙是由一个低阶$k^{\frac1n}$项所限定的，其中$Γ_j$表示固支板问题的$j^{^{\text{th}}}$本征值.
2016-10-19 math.AP math.DG
Non-density of nodal lines in the clamped plate problem
Instituto de Ciencias Matemáticas, Consejo Superior de Investigaciones Científicas（西班牙高等科学研究委员会数学科学研究所）；Stanford University（斯坦福大学）
本文证明夹紧板问题的高能特征函数节集不必稠密，存在宏观“节空穴”，并给出单位圆盘的小变形允许任意高频特征函数在半径0.44的圆盘内非零。
2026-06-06 math.AP math.SP
Lord Rayleigh's Conjecture for Vibrating Clamped Plates in Positively Curved Spaces
我们肯定地解决了类似的Lord Rayleigh猜想的黎曼流形与积极的里奇曲率的任何固支板在2和3维，并为足够大的固支板的尺寸超过3。这些结果补充了单位（M.阿什博河Benguria，1995和N. Nadirashvili，1995）和负弯曲（A. Kristály，2020）的情况下，是有效的，只有在2和3维，并在同一时间也提供了第一个肯定的答案，瑞利勋爵的猜想在更高的维度。证明依赖于一个Ashbaugh-Benguria-Nadirashvili-Talenti矩阵分解参数，Lévy-Gromov等周不等式，高斯超几何函数的优良性质和尖锐的频谱间隙估计的基本色调的小型和大型的夹紧球冠。我们的研究结果表明，正曲率增强了低维和高维设置之间的真正差异，这是振动固支板理论中一个被默认的范例。在极限情况下-当里奇曲率非负时-我们建立了一个涉及非紧完备黎曼流形的渐近体积比的Lord Rayleigh型等周不等式;而且，该不等式在2维和3维上是强刚性的，即，如果对于给定的固支板相等，则流形与欧几里得空间等距。
2022-04-25 math.AP math.DG
On the behaviour of clamped plates under large compression
通过将此问题与具有Robin边界条件的拉普拉斯特征值联系起来，我们确定了大压缩下固支板特征值的渐进行为。使用的方法的基本解，然后，我们进行了数值研究的极值域的第一个特征值，从中我们看到，这些依赖于压缩的值，并开始开发一个边界结构，因为这个参数的增加。极值域的第一特征函数对应的节点域数目也随压缩的增加而增加。
2019-07-11 math.AP math.SP
The Buckling and Clamped Plate Problems on Differential Forms
Lebanese University（黎巴嫩大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IECL（洛林数学与计算实验室）；Normandie Univ（诺曼底大学）；LMRS UMR 6085（鲁昂数学研究混合实验室）
本文研究了微分形式上的屈曲与夹紧板问题，推导了其最小特征值并推广了Hodge拉普拉斯算子的估计。
2026-02-04 math.AP math.DG math.SP
A Rigorous Derivation of the Equations for the Clamped Biot-Kirchhoff-Love Poroelastic plate
本文研究多孔弹性薄板中准静态Biot方程解在厚度趋于零时的极限行为。我们选择太沙基的时间对应的板的厚度和获得的三维固体位移，流体压力和总孔隙弹性应力的强收敛到新的一类板方程的解。在新的方程中，面内拉伸由二维Navier线性弹性方程描述，弹性模量取决于Gassmann和Biot系数。弯曲方程与压力方程相耦合，它包含了由于板厚度上孔隙压力变化而产生的弯矩。压力方程仅在垂直方向上是抛物线型的。作为附加项，它包含板的垂直挠度的面内拉普拉斯方程的时间导数和弹性面内压缩项的时间导数。
2012-11-27 math.AP physics.class-ph
Eigenvalue Inequalities for the Clamped Plate Problem of $\mathfrak{L}^{2}_ν$ Operator
$\mathfrak{L}_{II}$算子是Y.- L. Xin（\emph{Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2015, \textbf{54}(2):1995-2016)}）是一类重要的散度型外赋椭圆微分算子，具有深刻的几何意义.本文将$\mathfrak{L}_{II}$算子推广到更一般的椭圆型微分算子$\mathfrak{L}_ν$，并研究了完备黎曼流形上双$\mathfrak{L}_ν$算子（记作$\mathfrak{L}_ν^{2}$）的固板问题.建立了$\mathfrak{L}_ν^{2}$算子本征值的一般公式。应用这个公式，我们估计了黎曼流形上的低阶特征值。作为进一步的应用，我们建立了该算子在平移孤子上关于欧几里得空间、单位球面和射影空间的中曲率流、子流形的特征值不等式.特别地，对于平移孤子，所有的本征值不等式都是普适的。
2021-01-20 math.AP math.DG
An isoperimetric inequality for fundamental tones of free plates with nonzero Poisson's ratio
我们建立了一个部分推广的前等周不等式的基调（第一个非零特征值）的自由板的非零泊松比板。
2014-12-12 math.AP math.SP
Eliminating flutter for clamped von Karman plates immersed in subsonic flows
本文研究了无粘势流中非旋转冯卡门板的长时间行为。该模型出现在气动弹性和模型之间的相互作用薄，非线性面板和气流，它是沉浸[6，21，23]。[16，18]中的最新结果表明，动力学的板分量（在存在物理板非线性的情况下）收敛到有限维的全局紧吸引集;这些结果是在没有任何类型的机械阻尼的情况下获得的。在这里，我们表明，通过将机械阻尼的全流板系统，完整的轨迹-板和流-强烈收敛到（一组）稳态。弱收敛的结果需要“最小”的内部阻尼，和强收敛的动态显示足够大的阻尼。我们要求存在一个“好的”能量平衡方程，它只有在亚音速流动时才可用。我们的证明是基于第一次显示的正则解，这反过来又需要传播的初始正则性的无限地平线上的收敛性。然后，我们利用两个板轨迹的差异的指数衰减，以表明全流板轨迹是均匀的时间阿达玛连续。这允许我们将平滑初始数据的收敛性质传递到有限能量类型的初始数据。物理上，我们的研究结果意味着颤振（非静态端行为）不会发生在亚音速动力学。虽然这样的结果是已知的旋转（紧凑/规则）板块动力学[14]（和其中的参考文献），本文提出的结果是第一个这样的结果获得的非正规化-最物理相关的-模型。
2015-06-18 math.AP
A geometric lower bound for the clamped plate eigenvalue problem in low dimensions and extensions
Liceo Scientifico Statale “Vito Volterra”（维托·沃尔泰拉国立科学中学）
该研究针对2、3维一般开集，给出狄利克雷双拉普拉斯算子谱仅由内半径确定的定量下界，并推广到N/2<s<2的拉普拉斯分数幂，证明采用Maz'ya风格的容度技术，所得常数具有正确渐近行为。
2026-10-14 math.AP math.FA math.SP
Sufficient conditions yielding the Rayleigh Conjecture for the clamped plate
针对d≥4维空间中固支板瑞利猜想未解决的问题，本文基于降阶原理，提出两个使猜想成立的充分条件，同时提供形状导数工具并显式计算球体主特征函数。
2025-01-14 math.AP
Existence of transmission eigenvalues for biharmonic scattering by a clamped planar region
Purdue University（普渡大学）；Forschungszentrum Jülich GmbH, Jülich Supercomputing Centre（于利希研究中心有限公司，于利希超级计算中心）；University of Applied Sciences Aachen（亚琛应用科学大学）；Duke Kunshan University（杜克昆山大学）
本文研究了薄弹性板上不可穿透夹紧障碍物的双曲散射问题，证明了存在无限多个实传输特征值，并探讨了其与狄利克雷和诺伊曼特征值的关系。
2025-11-19 math-ph math.AP math.MP
Principal frequency of clamped plates on RCD(0,N) spaces: sharpness, rigidity and stability
本文研究了满足 RCD(0,N) 条件的度量测度空间中夹紧板主频率的精细性质，在 N 接近 2 或 3 时提出了包含渐近体积比的新等周不等式，并证明了其锐度、基于锥结构的刚性及稳定性，结果对黎曼流形亦属全新。
2024-09-06 math.AP math.DG math.MG
An improved existence theorem for rigid nonlinearly elastic plates
Charles University（查理大学）；Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science and Technology（越南科学技术研究院数学研究所）；CNRS（法国国家科学研究中心）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；Laboratoire Jacques-Louis Lions, LJLL（雅克-路易·利翁斯实验室）
本文针对刚性非线性弹性板，证明Kirchhoff-Love非线性模型在任意外力和边界条件下均存在解，给出板刚性的充分条件，推广了Rabier的全边界夹紧假设下的存在性定理。
2025-11-18 math.AP
Optimal Shape of a Domain which minimizes the first Buckling Eigenvalue
本文证明了在给定测度下，在所有有界区域中存在一个最优区域，使固支板的屈曲载荷最小。而不是治疗这个变分问题的体积约束，我们引入了一个问题，没有任何约束，但与惩罚项。我们专注于极小化函数，并证明它有Lipschitz连续的一阶导数。此外，我们证明了惩罚问题和原问题可以被视为等价的。最后，我们建立了自由边界的一些定性性质。
2015-12-23 math.AP math.OC
On Material Optimisation for Nonlinearly Elastic Plates and Shells
本文研究了弹性板上软硬材料的最优分布问题。在等距变形类中，研究了包含材料硬度函数的Kirchhoff板泛函的不动点，并考虑了柔度代价泛函。在对称假设下的材料分布和负载，它表明，圆柱形的解决方案是固定点。此外，它表明，最优设计的圆柱形变形，固支矩形板是不平凡的，即与材料分布，这不仅仅是取决于一个轴向方向上的板。分析结果与使用适当的有限元离散化和材料相的相场描述的数值优化结果进行了补充。最后，用数值方法对不等长变形板壳的最优设计作了展望。
2020-03-03 cs.NA math.AP math.NA
Existence of an optimal shape for the first eigenvalue of polyharmonic operators
该研究证明了2到4m维空间中体积约束下Dirichlet多重拉普拉斯算子第一特征值最小化开集的存在性，得到对应特征函数的赫尔德正则性，解决了8维及以下固支板最优形状存在性问题。
2025-01-14 math.AP math.OC
Thin elastic plates supported over small areas. I. Korn's inequalities and boundary layers
考虑了一个各向异性弹性薄板，它的侧边被夹持，并且支承在一个底面的一个小区域$θ_{h}$上，$θ_{h}$的直径与板的相对厚度$h\ll1$的数量级相同.除了标准的Kirchhoff模型与Sobolev点条件，三维边界层附近的支持$θ_{h}$，这与导出的加权不等式的帮助下，将提供一个误差估计与边界$ch^{1/2}|\ln h|$。忽略此边界层效应会将精度阶数降低到$|\ln h|^{-1/2}$。
2015-07-14 math-ph math.AP math.MP
Dimension reduction and homogenization of composite plate with matrix pre-strain
Fraunhofer ITWM（弗劳恩霍夫工业数学研究所）
本文研究了具有基体预应变的复合板的均质化与维度降低，通过非线性弹性框架下的渐近分析，推导出vK类型的极限均质化能量，并揭示了各向异性特征。
2024-01-09 math.AP
Analytic Solutions of Von Karman Plate under Arbitrary Uniform Pressure (II): Equations in Integral Form
本文应用同伦分析方法（HAM）成功地求解了边界固定的圆板在任意均布外压作用下的积分形式的Von Karman板方程。提出了两种基于HAM的方法。一个是给定外载荷Q的情况，另一个是给定中心挠度的情况。在HAM框架下，通过选取适当的收敛控制参数c_1和c_2，这两种方法对任意均匀外压都是有效的。此外，还发现迭代可以大大加快解级数的收敛速度。此外，我们还证明了当c_1=-theta，c_2=-1时，插值迭代法是基于HAM的一阶迭代法的特例，其中theta表示插值迭代法的插值参数.因此，类似于Zheng和Zhou}，可以类似地证明基于HAM的方法对于任意均匀外压是有效的，至少在某些特殊情况下，例如c_1=-theta和c_2=-1。此外，还发现基于HAM的迭代方法比插值迭代法收敛快得多。所有这些都说明了HAM对于著名的Von Karman板方程的有效性和潜力，并显示了HAM相对于扰动法的优越性。
2016-04-21 math.AP
Spectral Theory for Perturbed Krein Laplacians in Nonsmooth Domains
我们研究的谱性质$H_{K,Ω}$，克莱因-冯诺依曼扩展的扰动拉普拉斯$-Δ+V$定义在$C^\infty_0(Ω)$，其中$V$是可测的，有界的和非负的，在一个有界的开集$Ω\subset\mathbb{R}^n$属于一类非光滑域，其中包含所有的凸域，以及所有的域类$C^{1,r}$，$r>1/2$。特别地，在上述上下文中，我们建立了Weyl渐近公式\[ #\{j\in\mathbb{N} | λ_{K,Ω,j}\leqλ\} = (2π)^{-n} v_n |Ω| λ^{n/2}+O\big(λ^{(n-(1/2))/2}\big) {as} λ\to\infty, \]，其中$v_n=π^{n/2}/ Γ((n/2)+1)$表示$\mathbb{R}^n$中单位球的体积，并且$λ_{K,Ω,j}$、$j\in\mathbb{N}$是$H_{K,Ω}$的非零特征值，根据其多重性以递增顺序列出。我们通过证明扰动的Krein Laplacian（即，定义在$C^\infty_0(Ω)$上的$-Δ+V$的Krein-von Neumann扩展）在谱上等价于固支板的屈曲问题，并使用了Kozlov在20世纪80年代中期的抽象结果。我们的工作建立在Grubb在20世纪80年代初，谁考虑了类似的问题，椭圆算子在光滑域，并表明，问题所提出的阿隆索和西蒙在1980年有关的有效性上述外尔渐近公式继…
2010-01-25 math.AP math.SP
