维数 $d \ge 3$ 时光滑高斯场无界结点超曲面的存在性
Existence of an unbounded nodal hypersurface for smooth Gaussian fields in dimension $d \ge 3$
AI总结：
本文针对d≥3维的Bargmann--Fock场及更广泛的正相关光滑高斯场，证明其游移集渗流模型临界水平严格为正，得出存在无界结点超曲面的结论，揭示了高维与二维高斯场结点集行为的显著差异。
摘要：
针对 $d\ge3$ 维 $\mathbb R^d$ 上的Bargmann--Fock场（巴格曼-福克场），我们证明了由游移集 $\{ f \ge \ell \}$ 构成的渗流模型的临界水平 $\ell_c(d)$ 严格为正。这意味着对于每一个足够接近0的 $\ell$（尤其对应 $\ell=0$ 情形的结点超曲面），$\{f=\ell\}$ 都包含一个无界连通分支，该分支会“遍历”环境空间的“大部分”区域。我们的结论实际上适用于更广泛的一类具有快速衰减相关性的正相关光滑高斯场。本文结果表明，$d\ge3$ 维 $\mathbb R^d$ 中这类高斯场的结点超曲面的行为，与其二维对应情形的结点线行为存在显著差异。
英文摘要：
For the Bargmann--Fock field on $\mathbb R^d$ with $d\ge3$, we prove that the critical level $\ell_c(d)$ of the percolation model formed by the excursion sets $\{ f \ge \ell \}$ is strictly positive. This implies that for every $\ell$ sufficiently close to $0$ (in particular for the nodal hypersurfaces corresponding to the case $\ell=0$), $\{f=\ell\}$ contains an unbounded connected component that visits "most" of the ambient space. Our findings actually hold for a more general class of positively correlated smooth Gaussian fields with rapid decay of correlations. The results of this paper show that the behaviour of nodal hypersurfaces of these Gaussian fields in $\mathbb R^d$ for $d\ge3$ is very different from the behaviour of nodal lines of their two-dimensional analogues.
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