A simple proof of Blackwell's renewal theorem by mapping to integers
Rohit Pandey
本文通过将一般点过程变换为确定性过程（其中事件间隔时间总是固定的），给出更新定理的一个新证明。它还提供了对更新定理的工作原理的洞察。
This paper presents a new proof of the renewal theorem by bijecting a general point process to a deterministic one (where the time between events is always fixed). It also provides insight into the workings of the renewal theorem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A martingale view of Blackwell's renewal theorem and its extensions to a general counting process
鞅构成了随机分析的基本工具，本文考虑其应用计数过程。我们使用这个工具来重新审视更新定理及其各种计数过程的扩展。我们首先考虑一个更新过程作为试点的例子，推导出一个新的半鞅表示，通过随机强度函数的标准分解不同。然后，我们重新Blackwell的更新定理，它的改进和扩展。在此基础上，我们将半鞅表示推广到一般的计数过程，并给出了类似Blackwell更新定理的渐近行为成立的条件.
Generalized Fibonacci Numbers and Blackwell's Renewal Theorem
研究了广义斐波那契数与随机过程更新理论之间的联系。利用Blackwell更新定理，我们找到了广义斐波那契数的一个近似.借助于更新定理中的误差估计，我们得到了一个显式表示。
From uniform renewal theorem to uniform large and moderate deviations for renewal-reward processes
从一致Blackwell更新定理出发，导出了一致密钥更新定理.在比指数矩存在性弱得多的条件下，得到了更新-报酬过程的一个一致的大偏差原理（LDP），并导出了中等偏差原理（MDP）.
Asymptotics for Kendall's renewal function
在较弱的假设下证明了Jasiulis-Goiddyn et al.（2020）在Kendall卷积下给出的一个初等更新定理和一个Blackwell定理，并将其推广到Gamma类.分析了这些定理中有关极限的收敛速度。
Renewal theory for extremal Markov sequences of the Kendall type
本文研究了一类与Kendall卷积有关的极值马氏序列的更新理论。本文考虑与广义卷积有关的Wold过程的某些特殊情况。我们证明了Fredholm定理对所有正则广义卷积代数的一个类似。利用正则变函数证明了Kendall随机游动更新过程的一个Blackwell定理。
Blackwell-type Theorems for Weighted Renewal Functions
对于满足其“平均行为”的广泛假设的数字序列${a_n}$和具有独立同分布的随机游走$S_n=ξ_1 +...+ξ_n$本文讨论了具有正均值$μ$的$ξ_j$跳跃，建立了[ \sum_{n\ge 1} a_n \pr（S_n \in [x，x+ \D））\quad为\quad × \to \infty，]和的渐近行为，其中$\D>0$是固定的.我们的结果的新颖之处不仅在于在更广泛的条件下的权重${a_n}$，但也在既不是跳跃$ξ_j$和权重$a_j$需要是积极的。证明的关键工具是积分局部极限定理和大偏差界.对于跳分布$F$，我们考虑了四种条件：（a）$F$的二阶矩是有限的，（b）$F$属于稳定律的吸引域，（c）$F$的尾属于所谓的局部正则变化函数类，（d）$F$满足矩Cramér条件.关于权重，在情况（a）-（c）中，我们假设${a_n}$是所谓的$ψ$ -局部平均常数序列，$ψ(n)$是确保$(S_n - μn)/ψ(n)$的分布收敛到相应稳定律的比例因子。在情况（d）中，我们考虑$a_n=b_n e^{qn},$形式的权重序列，其中${b_n}$具有关于$ψ(n)=\sqrt{n}.$的情况（a）-（c）中的序列${a_n}$假设的性质
On renewal theory for cluster processes
本文研究带标记与簇的更新过程，利用耦合方法证明 Blackwell、关键、扩展及初等更新定理的推广形式在标记与等待时间存在依赖时仍成立。
Renewal theory for iterated perturbed random walks on a general branching process tree: intermediate generations
设$(ξ_k,η_k)_{k\in\mathbb{N}}$是独立同分布的随机向量，其正分量是任意相依的.我们称（全局）扰动随机游动为随机序列$(T_k)_{k\in\mathbb{N}}$，由$T_k:=ξ_1+\cdots+ξ_{k-1}+η_k$定义为$k\in\mathbb{N}$。此外，迭代扰动随机游走是指定义一般分支过程的后续世代中的个体的出生时间的点过程序列，条件是第一代个体的出生时间由扰动随机游走给出。对于$j\in\mathbb{N}$和$t\geq 0$，用$N_j(t)$表示具有出生时间$\leq t$的$j$第代个体数。本文在假设$j=j(t)\to\infty$和$j(t)=o(t^{2/3})$为$t\to\infty$的条件下，证明了$N_j(t)$的经典更新理论结果（初等更新定理、Blackwell定理和密钥更新定理）的对应结果.根据我们的术语，这样的世代形成中间世代集合的子集。
Renewal theory for iterated perturbed random walks on a general branching process tree: early generations
设$(ξ_k,η_k)_{k\in\mathbb{N}}$是独立同分布的随机向量，其正分量是任意相依的.我们称（全局）扰动随机游动为随机序列$T:=(T_k)_{k\in\mathbb{N}}$，由$T_k:=ξ_1+\ldots+ξ_{k-1}+η_k$定义为$k\in\mathbb{N}$。考虑由$T$生成的一般分支过程，用$N_j(t)$表示$j$第代个体的个数，其出生时间为$\leq t$ .我们处理早期世代，即不依赖于$t$的固定世代$j$。在这种情况下，我们证明了对应的$\mathbb{E}N_j$的Blackwell定理和关键更新定理，证明了强大数定律的$N_j$，找到一阶渐近的$N_j$的方差。此外，我们证明了一个功能性极限定理的向量值过程$(N_1(ut),\ldots, N_j(ut))_{u\geq 0}$，适当规范化和中心，作为$t\to\infty$。极限是一个向量值高斯过程，其分量是积分布朗运动。
Renewal Population Dynamics and their Eternal Family Trees
基于一个简单的物体，一个身份证。正整数值随机变量序列$\{a_n\}_{n\in \mathbb{Z}}$，引入并研究了两种随机结构及其联系。第一，种群动态，其中每个个体在时间$n$出生并在时间$n+a_n$死亡。这种动态是D/GI/ $\infty$队列的动态，到达时间为整数，服务时间由$\{a_n\}_{n\in \mathbb{Z}}$给出。二是有向随机图$T^f$关于$\mathbb{Z}$生成的随机图$f(n)=n+a_n$。仅假设$\mathbb{E}[a_0]<\infty$和$\mathbb{P}[a_0=1]>0$，我们表明，在稳定状态下，人口动态是再生的，与一个人活着，在每个再生时期。我们确定了一个unimodular结构在这个动态。更准确地说，$T^f$是一个幺模有向树，其中$f(n)$是$n$的父树。此外，$T^f$将整数分为两类：短暂整数（所有度的后代数量有限）和成功整数（所有度的后代数量无限）。每个再生纪元都是一个成功的个体，所有小于它的整数都是它的后代。短暂的、成功的和再生的整数在$\mathbb{Z}$上形成平稳和混合点过程。
Multi-time Markov renewal chains and stratified renewal theorems
研究在标准博雷尔状态空间上的离散马尔可夫更新理论，利用向量值逗留时间等。通过马尔可夫更新势提供多种表示，确定半马尔可夫场的马尔可夫增强及准则，建立分层逆更新理论并给出相关极限与估计，连接了多方面内容。
Limit theorems for multidimensional renewal sets
考虑由i.i.d.生成的$d$维整数网格上的多个和$S_n$。\正期望值的随机变量。证明了随机集${\mathcal M}_t$作为多重和的逆的强大数律、重对数定律和分布极限定理，即作为所有自变量$x\in{\mathbb R}_+^d$的集合，使得内插的多重和$S_x$超过$t$ .该矩条件与多重和的几乎处处极限定理中的条件相同。结果表示在集合包含和使用集合之间的距离。
A Proof of Basic Limit Theorem of Renewal Theory
本文针对更新理论中 Blackwell 更新定理的离散情形，基于 Fourier 分析方法与几乎收敛序列的 Tauber 型定理，给出了极限 $\lim_n p_n=1/\sum_{i=0}^\infty iq_i$ 的一个新证明，并指出实际仅需初等分析。
Binomial ARMA count series from renewal processes
本文提出了一种由更新过程生成平稳整值时间序列的新方法。证明了如果更新过程的寿命分布是非格的，且概率母函数是有理的，则生成的时间序列满足因果可逆的ARMA型随机差分方程.这一结果为生成具有ARMA型自协方差函数的整值时间序列提供了一种简便的方法。作为例子，给出了从滞后p后具有常数风险率的寿命分布生成二项式ARMA（p，p-1）序列的例子。提出了AR（p）情形的估计方法。
Squirrels can remember little: A random walk with jump reversals induced by a discrete-time renewal process
考虑一类整数直线上具有定向单位步的离散时间随机游动。步骤的方向在离散时间更新过程中的事件的时刻被反转，并且在无事件的时刻被保持。该模型代表了电报过程的离散时间半马尔可夫一般化。我们推导出精确的公式的传播使用生成函数。我们证明了几何分布的等待时间的扩散限制，这种步行收敛到经典的电报过程。我们考虑了期望位置的大时间渐近性：对于有限均值的等待时间密度，步行者保持在离出发点很近的平均值中，而对于厚尾等待时间密度（即无穷均值密度），步行者通过次线性幂律逃逸。我们探索异常扩散功能占的“老化效应”的非马尔可夫性的一个标志，其中的离散时间版本的“老化更新过程”开始发挥作用。通过推导此过程的相关分布，我们得到显式公式的方差时，等待时间是Sibuya分布。在这种情况下，通常对于厚尾等待时间PDF，在大的时间限制中出现$t^2$弹道超扩散标度。相反，如果步骤反转之间的等待时间PDF是轻尾（“窄”与有限的平均值和方差）的步行表现出正常的扩散和“宽”的等待时间PDF（有限的平均值和无限的方差）超扩散大的时间尺度。我们还考虑时变版本的步行是从属于一个连续的时间点过程，如时间分数泊松过程。这定义了一类新的有偏连续时间随机游动，表现出几个制度的异常扩散。
How can a clairvoyant particle escape the exclusion process?
我们研究的检测问题，在以下设置：在一维整数格，在时间为零，放置在每个站点上的节点独立的概率$ρ\in [0,1)$，让他们演变为一个简单的对称排它过程。在时间零点，在原点放置一个目标。目标仅以整数倍移动，并且可以移动到距其当前位置$R$距离内的任何站点。还假设目标可以预测所有节点的未来移动。我们证明，对于足够大的$R$（取决于值的$ρ$），它是可能的目标，以避免检测永远与积极的概率。这个结果的证明使用了两个独立的成分。首先，我们建立了一个重正化方案，可以用来证明渗流依赖定向模型在一定的解耦条件。这个结果是一般性的，不依赖于模型的特性。作为应用，我们证明了我们的主要定理不同的动力学，如独立的随机游动和独立的更新链。我们还证明了存在的定向渗流的随机交错和其空集的大尺寸。证明的第二步是排它过程的时空解耦。
Gaps and interleaving of point processes in sampling from a residual allocation model
本文给出了正整数$(P_1, P_2, \ldots)$上随机离散分布样本大小为$n$的顺序统计量$X_{1:n} \le \cdots \le X_{n:n}$之间间隙$\widehat{G}_{i:n}:= X_{n-i+1:n} - X_{n-i:n}$的极限定理（也称为伯努利筛）$P_j:= H_j \prod_{i=1}^{j-1}(1-H_i)$，用于独立随机风险变量序列$H_i$，其根据$H \in (0,1)$的某种分布相同分布，使得$- \log(1 - H)$具有非-具有有限平均值$μ_{\mbox{log}}$格点分布。作为$n\to \infty$，间隙$\widehat{G}_{i:n}$的有限维分布收敛于极限间隙$G_i$的有限维分布，极限间隙$G_i$是具有i.i.d.在Yule过程中出生的时间$T_{i-1}$和$T_i$之间的间距$- \log(1 - H_j)$，即对于i.i.d.序列为$T_i := \sum_{k=1}^i \varepsilon_{k}/k$。指数变量$\varepsilon_k$，平均值为1。结果是$\widehat{G}_{i:n}$的平均值收敛于$G_i$的平均值，即$1/(i μ_{\mbox{log}} )$。这个极限定理简化和推广了Gnedin，Iksanov和Roesler关于Bernoulli筛的一个结果.
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