在具有有界反馈顶点数的动态结构上维护 $\mathsf{CMSO}_2$ 性质
Maintaining $\mathsf{CMSO}_2$ properties on dynamic structures with bounded feedback vertex number
AI总结：
本文提出一种动态数据结构，在反馈顶点数有界时维护图的 $\mathsf{CMSO}_2$ 性质，摊还更新时间为 $O(\log n)$，并结合 Erdős-Pósa 定理维护 $k$ 个顶点不相交环的打包。
摘要：
设 $φ$ 是图签名上的 $\mathsf{CMSO}_2$（一种允许对边子集进行量化和计数模谓词的一元二阶逻辑）句子。我们提出一种动态数据结构，对于通过边插入和边删除更新的给定图 $G$，维护 $φ$ 是否在 $G$ 中成立。该数据结构仅在 $G$ 的反馈顶点数不超过固定常数 $k$ 时被要求正确报告结果，否则它报告反馈顶点数过大。在此假设下，我们保证摊还更新时间为 ${\cal O}_{φ,k}(\log n)$。如果我们额外假设 $G$ 的反馈顶点数永不超过 $k$，则此更新时间保证是最坏情况下的。通过将此结果与 Erdős 和 Pósa 的经典定理相结合，我们给出一个完全动态数据结构，维护图是否包含 $k$ 个顶点不相交环的打包，摊还更新时间为 ${\cal O}_{k}(\log n)$。我们的数据结构也适用于二元签名上的关系结构的更一般情形。
英文摘要：
Let $φ$ be a sentence of $\mathsf{CMSO}_2$ (monadic second-order logic with quantification over edge subsets and counting modular predicates) over the signature of graphs. We present a dynamic data structure that for a given graph $G$ that is updated by edge insertions and edge deletions, maintains whether $φ$ is satisfied in $G$. The data structure is required to correctly report the outcome only when the feedback vertex number of $G$ does not exceed a fixed constant $k$, otherwise it reports that the feedback vertex number is too large. With this assumption, we guarantee amortized update time ${\cal O}_{φ,k}(\log n)$. If we additionally assume that the feedback vertex number of $G$ never exceeds $k$, this update time guarantee is worst-case. By combining this result with a classic theorem of Erdős and Pósa, we give a fully dynamic data structure that maintains whether a graph contains a packing of $k$ vertex-disjoint cycles with amortized update time ${\cal O}_{k}(\log n)$. Our data structure also works in a larger generality of relational structures over binary signatures.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
