图态与主子式簇
Graph States and the Variety of Principal Minors
AI总结：
本文揭示了图态与二元对称主子式簇之间的对应关系，通过将局部Clifford群的作用转化为局部辛群在Lagrangian Grassmannian上的作用，建立了量子稳定子态与代数几何簇的深刻联系。
摘要：
在量子信息论中，图态是由图定义的量子态。在本研究中，我们展示了图态与二元对称主子式簇之间的对应关系，特别是它们在 $SL(2,\mathbb F_2)^{\times n}\rtimes \mathfrak S_n$ 作用下的对应轨道。我们首先从更广泛的角度探讨该主题，即研究 $n$ 重 Pauli 群的极大交换子群在 $\mathcal C_n^{\text{loc}}\rtimes \mathfrak S_n$ 作用下的轨道，其中 $\mathcal C_n^{\text{loc}}$ 是 $n$ 重局部 Clifford 群：我们证明该作用对应于 $SL(2,\mathbb F_2)^{\times n}\rtimes \mathfrak S_n$ 在二元对称 $n\times n$ 矩阵的主子式簇 $\mathcal Z_n\subset \mathbb P(\mathbb F_2^{2^n})$ 上的自然作用。这一对应关系的关键步骤是将 $SL(2,\mathbb F_2)^{\times n}$ 的作用转化为局部辛群 $Sp_{2n}^{\text{loc}}(\mathbb F_2)$ 在 Lagrangian Grassmannian $LG_{\mathbb F_2}(n,2n)$ 上的作用。最后，我们研究了前述作用如何限制在稳定子群和稳定子态上，并探讨了图态情形下的结果。
英文摘要：
In Quantum Information theory, graph states are quantum states defined by graphs. In this work we exhibit a correspondence between graph states and the variety of binary symmetric principal minors, in particular their corresponding orbits under the action of $SL(2,\mathbb F_2)^{\times n}\rtimes \mathfrak S_n$. We start by approaching the topic more widely, that is by studying the orbits of maximal abelian subgroups of the $n$-fold Pauli group under the action of $\mathcal C_n^{\text{loc}}\rtimes \mathfrak S_n$, where $\mathcal C_n^{\text{loc}}$ is the $n$-fold local Clifford group: we show that this action corresponds to the natural action of $SL(2,\mathbb F_2)^{\times n}\rtimes \mathfrak S_n$ on the variety $\mathcal Z_n\subset \mathbb P(\mathbb F_2^{2^n})$ of principal minors of binary symmetric $n\times n$ matrices. The crucial step in this correspondence is in translating the action of $SL(2,\mathbb F_2)^{\times n}$ into an action of the local symplectic group $Sp_{2n}^{\text{loc}}(\mathbb F_2)$ on the Lagrangian Grassmannian $LG_{\mathbb F_2}(n,2n)$. We conclude by studying how the former action restricts onto stabilizer groups and stabilizer states, and finally what happens in the case of graph states.
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