Non-overlapping block smoothers for the Stokes equations
重叠块平滑器有效地抑制了斯托克斯方程多重网格方法中高振荡分量的误差贡献，但它们的计算代价很高。本文主要研究交错网格上离散的斯托克斯方程的块平滑算法。这些平滑器是不重叠的，因此由于降低的计算成本而是期望的。传统的几何多重网格方法是基于简单的逐点平滑。然而，多重网格方法用于求解诸如斯托克斯方程之类的更困难的问题的效率导致计算上更昂贵的平滑器，例如，重叠块平滑器。非重叠平滑器较便宜，但在文献中被认为效率较低。在本文中，我们开发了新的非重叠平滑，所谓的三重平滑，并显示其效率内的多重网格方法来解决斯托克斯方程。此外，我们比较重叠和非重叠平滑的计算成本和分析他们的行为，通过使用本地傅里叶分析。
2020-08-20 cs.NA math.NA
On an efficient line smoother for the p-multigrid γ-cycle
本文提出了一种用于 GeoFLOW 代码中 Poisson 求解器的高效线光滑器，通过 p-多重网格 γ-循环预处理 Gauss-Legendre-Lobatto 谱方法产生的线性系统，利用循环约化的直接多重网格表述求解一维低阶问题，数值实验证明了其在多种条件下的迭代次数有界性。
2025-05-31 cs.NA math.NA
A parameter-dependent smoother for the multigrid method
用经典方法求解参数依赖的线性系，会导致在参数数目上呈指数增长的算术工作量。这使得多重网格法，其中有一个很好的理解收敛理论，不可行。一个依赖于参数的表示，例如，低秩张量格式可以避免这种指数依赖性，但是在这些格式中，不知道如何在表示内直接计算逆。这些表示与多重网格方法的组合需要经典多重网格理论的参数依赖版本和线性系的参数依赖表示，平滑，延长和限制。推导出的参数依赖版本的光滑属性，满足参数依赖版本的理查森和雅可比方法，连同近似属性证明了收敛的多重网格方法的任意参数依赖的表示。对于模型问题，低秩张量格式表示参数依赖的线性系、延拓和约束。平滑，阻尼雅可比方法，直接近似在低秩张量格式，通过使用指数和。证明这种近似的光滑性质保证了参数依赖方法的收敛性。数值实验的参数依赖的模型问题，与有界的参数值范围，表明一个网格大小无关的收敛速度。
2020-08-03 cs.NA math.NA
Optimal polynomial smoothers for multigrid V-cycles
本文针对SPD系统多重网格V循环，推导了一般多项式光滑器的V循环界，发现第四类切比雪夫迭代准最优，而数值求解的最优多项式可将误差收缩因子界降低约18%。
2023-05-09 cs.NA math.NA
Towards Matrix-Free Patch Smoothers for the Stokes Problem: Evaluating Local p-Multigrid Solvers
Interdisciplinary Center for Scientific Computing, Heidelberg University（海德堡大学跨学科计算科学中心）
本文提出了一种无矩阵兼容的局部p多重网格求解器，用于评估斯托克斯问题的局部补丁求解方法，展示了Braess-Sarazin方法在变形网格和大粘性跃变下的鲁棒性。
2026-01-19 cs.NA math.NA
Smoothers with localized residual computations for geometric multigrid methods
本研究通过重组平滑步骤中的操作并采用批次循环，在补丁平滑器中结合局部残差计算与局部求解器，减少了多核架构上的内存传输，提升了多重网格求解器的性能。
2024-07-02 cs.NA math.NA
Convergence estimates for multigrid algorithms with SSC smoothers and applications to overlapping domain decomposition
Texas Tech University（德克萨斯理工大学）
本文研究了多重网格算法中SSC平滑器的收敛估计，针对对称椭圆型PDE，分析了无正则性假设下的收敛分析，并推导了多重网格误差界及独立于网格层级的条件。
2017-09-27 cs.NA math.NA
Optimization of the Multigrid-Convergence Rate on Semi-structured Meshes by Local Fourier Analysis
Department of Computer Science, System Simulation（计算机科学与系统模拟系）；University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）
本文通过局部傅里叶分析研究多网格方法在四面体网格上的收敛率优化，提出四色平滑器适用于规则四面体网格，而劣质四面体需使用线性和平面松弛，通过傅里叶空间新划分验证理论预测，构建块状多网格方法提升效率。
2014-10-27 cs.NA math.NA
Cascading Smoothers for Multigrid
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
提出级联平滑器，通过顺序单步块对角平滑器优化误差传播，在多重网格V循环中无需参数调节即可高效求解多种离散化问题。
2026-06-12 cs.NA math.NA
Efficiency of local Vanka smoother geometric multigrid preconditioning for space-time finite element methods to the Navier-Stokes equations
对不可压缩粘性流动的数值模拟，特别是三维空间的数值模拟，仍然是一项具有挑战性的任务。时空有限元法的特点是自然构造高阶离散格式。它们提供了在计算上可行的网格上实现精确结果的潜力。通过牛顿法线性化所得到的代数问题产生具有由$(k+1)\times (k+1)$鞍点系统构建的块矩阵的线性系，其中$k$表示变分时间离散化的多项式阶。我们证明了数值效率的预处理GMRES迭代求解这些线性系的$V$循环几何多重网格方法的基础上，当地的Vanka平滑。研究工作是针对二维和三维圆柱绕流的基准问题进行的。在这里，鲁棒性的求解器相对于分段多项式阶$k$在时间上进行了分析和数值证明。
2022-10-06 cs.NA math.NA
Improvement of the Cascadic Multigrid Algorithm with a Gauss Seidel Smoother to Efficiently Compute the Fiedler Vector of a Graph Laplacian
Tufts University（塔夫茨大学）
本文改进了级联多网格算法，结合Gauss-Seidel平滑器以高效计算图拉普拉斯矩阵的Fiedler向量，用于图划分和谱聚类。
2016-02-13 cs.NA math.NA
Multigrid Preconditioning for FEEC using Mass-Lumping and Transforming Smoothers
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
针对de Rham复形中PDE的结构保持混合有限元离散产生的不定线性系统，提出结合质量集中FEEC质量矩阵与变换平滑子的多重网格预处理框架，通过数值实验验证其鲁棒性。
2026-06-17 cs.NA math.NA
GMRES-based multigrid for the complex scaled preconditoner for the indefinite Helmholtz equation
University of Antwerp（安特卫普大学）；Intel Exascience Lab（英特尔超算实验室）
本文探索用GMRES替代标准多重网格中的固定光滑子，构建鲁棒高效的复平移或拉伸亥姆霍兹问题求解器，作为预条件子，并通过理论推导的稳定多项式光滑子比较收敛行为。
2013-05-08 cs.NA math.NA
Optimal Chebyshev Smoothers and One-sided V-cycles
由不可压Navier-斯托克斯方程的谱元离散产生的泊松方程的解需要鲁棒的预处理策略。其中一个策略是多网格。为了实现多重网格方法的潜力，需要有效的平滑策略。证明了切比雪夫多项式平滑是一种有效的平滑方法。然而，有几个改进，特别是在对称性的代价。对于每次迭代的相同成本，具有$k$阶切比雪夫多项式平滑的完整V循环可以用具有$2k$阶切比雪夫多项式平滑的半V循环来代替，其中在V循环的上行分支上省略平滑器。在多重网格逼近属性常数$C$较大的情况下，选择省略后平滑器而采用高阶切比雪夫预平滑是有利的。利用Lottes的第四类切比雪夫多项式平滑的结果。这些方法证明了对标准切比雪夫多项式平滑器的实质性改进。作者在$p$ -几何多重网格中证明了该格式的有效性，以及一个二维有限差分模型问题。
2023-02-23 cs.NA math.NA
Multigrid p-Robustness at Jacobi Speeds: Efficient Matrix-Free Implementation of Local p-Multigrid Solvers
本文提出了一种高效矩阵自由的p-多网格局部求解器，通过求和因子分解和SIMD向量化技术，在保持鲁棒性的同时实现了与简单点平滑器相当的执行速度。
2025-12-02 cs.NA math.NA
Multigrid Algorithm Based on Hybrid Smoothers for Variational and Selective Segmentation Models
The University of Liverpool（利物浦大学）；Liverpool Heart and Chest Hospital（利物浦心脏和胸部医院）
本文提出一种基于新非标准平滑器的多网格算法，用于解决变分分割模型中的非光滑系数问题，改进了传统线性平滑器的效率，通过局部傅里叶分析验证了算法的收敛性。
2018-11-06 cs.NA math.NA
A closed-form multigrid smoothing factor for an additive Vanka-type smoother applied to the Poisson equation
考虑了标准差分中心格式离散的泊松方程的一种可加Vanka型光滑器。利用局部傅里叶分析，我们推导出两种类型的平滑器，称为顶点和元素的Vanka平滑器的最佳平滑因子的解析公式，并提出相应的支架。有趣的是，在一维情况下，单元Vanka平滑器等价于由线性有限元法得到的标度质量算子，而在二维情况下，单元Vanka平滑器等价于由双线性有限元法离散的标度质量算子加上标度恒等算子.基于这些发现，从有限元法获得的质量矩阵可以被用作拉普拉斯算子的逆的近似，并且由此产生的基于质量的松弛格式在一维、二维和三维中具有小的平滑因子。质量算子的优点是该算子是稀疏的和良态的，并且松弛方案的计算成本仅为一个矩阵-向量乘积;不需要计算矩阵的逆。这些发现有助于更好地理解加法Vanka平滑器的效率，并开发偏微分方程数值解的快速求解器。
2021-11-04 cs.NA math.NA
Learning optimal multigrid smoothers via neural networks
Emory University（埃默里大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
多重网格方法是求解由机器学习应用中的偏微分方程（PDE）和图拉普拉斯算子产生的线性系的最有效的技术之一。多重网格的关键组成部分之一是平滑，其目的是减少每个网格级别上的高频误差。然而，找到最佳的平滑算法是问题相关的，可以对许多问题带来挑战。在本文中，我们提出了一个有效的自适应框架，用于以卷积神经网络（CNN）的形式从算子扩展中学习优化的平滑器。CNN是基于来自多重网格收敛理论的监督损失函数，在给定类型的PDE的小规模问题上进行训练的，并且可以应用于同类PDE的大规模问题。各向异性旋转拉普拉斯问题的数值结果表明，改进的收敛速度和解决方案的时间相比，经典的手工制作的松弛法。
2021-07-06 cs.LG cs.NA math.NA
Overlapping Schwarz methods are not anisotropy-robust multigrid smoothers
本文通过局部 Fourier 分析和数值实验证明，重叠乘性 Schwarz 方法作为光滑器无法在固定局部块尺寸下实现各向异性鲁棒性，全局方法确有必要，且鲁棒光滑需要块直径达到 ${\cal O}(ε^{-1/2})$。
2025-01-01 cs.NA math.NA
Robust multigrid methods for nearly incompressible elasticity using macro elements
我们提出了一个网格独立和参数鲁棒性的多重网格求解器的Scott-Vogelius离散的几乎不可压缩的线性弹性方程的网格与宏元结构。离散化实现了精确表示的限制发散约束在适度的多项式次数。松弛和多重网格转移算子都利用了宏观结构的鲁棒性和效率。对于松弛，我们使用每个宏细胞上的局部Fortin算子的存在性来构造具有参数鲁棒收敛的局部空间分解。对于转移，我们构建了一个强大的延长运营商通过执行小的本地解决每个粗宏单元。数值实验证实了这两个组成部分的算法的必要性。
2021-11-01 cs.NA math.NA
Smoothers Based on Nonoverlapping Domain Decomposition Methods for $H(\mathbf{curl})$ Problems: A Numerical Study
本文对三维希尔伯特空间$H(\mathbf{curl})$中问题的$V$ -循环型多重网格算法进行了数值研究。多重网格方法的设计源于离散问题的离散化使用六面体Nédélec边缘元素的最低阶。我们建议的方法与平滑子结构的基础上区域分解方法的非重叠型。数值实验证明了算法的鲁棒性和有效性。
2022-09-04 cs.NA math.NA
Robust Multigrid for Isogeometric Analysis Based on Stable Splittings of Spline Spaces
Johannes Kepler University Linz（林茨约翰·开普勒大学）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）
本文提出一种基于样条空间稳定分解的鲁棒多重网格方法，用于单块等几何离散化，利用张量积B-样条的最大光滑性。方法通过将样条空间分解为满足稳健逆不等式的大型内部样条子空间和捕捉边界效应的较小子空间，有效处理谱异常问题。
2016-07-18 cs.NA math.NA
Analysis on aggregation and block smoothers in multigrid methods for block Toeplitz linear systems
本文研究块 Toeplitz 线性系统的基于符号多重网格法，通过聚合型网格转移将矩阵值符号化为标量值，证明 V-cycle 收敛性并扩展松弛块 Jacobi 等光滑子条件，数值验证其计算优势。
2024-03-04 cs.NA math.NA
Two-level convergence of Algebraic Multigrid with Overlapping Smoothers and Spectral Coarse Grids
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；Science and Technology Facilities Council, Scientific Computing Department, Rutherford Appleton Laboratory（英国科学与技术设施委员会，科学计算部，卢瑟福阿普尔顿实验室）
针对LS-AMG-DD求解器，提出两层收敛理论，证明粗空间满足弱逼近性质且常数由用户控制，结合乘法两层循环标准理论得到干净界，数值实验支持理论。
2026-06-18 cs.NA math.NA
Nonuniformly weighted Schwarz smoothers for spectral element multigrid
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
本文提出了一种混合Schwarz/多网格方法，用于求解二维泊松方程，通过引入基于平滑符号函数的非均匀权重分布，改进了加权Schwarz方法，实现了对数收敛率，减少了迭代次数并提高了计算效率。
2016-12-21 cs.NA math.NA
On the analysis of block smoothers for saddle point problems
Institute of System Simulation, University Erlangen-Nuremberg（埃尔朗根-纽伦堡大学系统模拟研究所）；Institute of Computational Mathematics, Johannes Kepler University Linz（林茨约翰内斯开普勒大学计算数学研究所）
本文探讨了用于多重网格方法的Uzawa平滑器类别，提出了一种新的对称方法，并统一分析了其平滑特性，应用于斯托克斯问题并展示了数值示例。
2016-12-05 cs.NA math.NA
MultiGrid Preconditioners for Mixed Finite Element Methods of Vector Laplacian
University of California at Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Xiangtan University（湘潭大学）
本文提出基于多网格方法的块对角和块三角预条件器，用于求解向量拉普拉斯算子的鞍点系统，利用点wise高斯-塞德尔平滑器提高求解效率。
2016-01-15 cs.NA math.NA
A comparative study of efficient multigrid solvers for high-order local discontinuous Galerkin methods: Poisson, elliptic interface, and multiphase Stokes problems
本研究设计并比较了多种多重网格求解器，用于高阶局部间断伽辽金方法处理椭圆界面和多相斯托克斯问题，开发了基于稀疏近似逆的平滑器，在多种二维和三维测试中达到经典几何多重网格的性能。
2025-09-10 cs.NA math.NA
A Geometric Multigrid Preconditioner for Discontinuous Galerkin Shifted Boundary Method
Heidelberg University（海德堡大学）
针对移位边界法产生的非对称病态线性系统，提出基于间断伽辽金格式的单元乘性光滑子，在hp多重网格框架下有效处理边界扰动，数值实验验证了线性与二次元的高效性。
2026-08-07 cs.NA math.NA
Neumann Series in GMRES and Algebraic Multigrid Smoothers
Neumann级数是Krylov方法和代数多重网格平滑器的基础。提出了一种低同步的改进的Gram-Schmidt（MGS）-GMRES算法，该算法采用Neumann级数来加速投影步骤。Paige等人（2006）的向后稳定性结果的推论证明了截断Neumann级数逼近足以收敛GMRES。与校正矩阵$T_m = (\: I + L_m \:)^{-1}$相关联的下三角解算器然后可以被与$T_m = I - L_m$的矩阵-向量积替换。其次，Neumann级数应用于加速经典的Rüge-Stuben代数多重网格预处理器使用多项式高斯-赛德尔或不完全ILU平滑。稀疏的三角形求解器在这些平滑被取代的内迭代的基础上矩阵矢量产品。Henrici的偏离正常的相关迭代矩阵导致更好地理解这些系列。连接之间的（非）正常的$L$和$U$因素和非线性稳定性分析，以及伪谱的系数矩阵。此外，保持结构对称性的重新排序也减少了偏离上三角因子的正态性，并提高了三角解的相对残差。为了证明这种方法在众核架构上的有效性，将所提出的求解器和预处理器应用于不可压缩Navier-斯托克斯方程的压力连续性方程。在不改变收敛速度的情况下，压力求解时间大大减少，并将多项式Gauss-Seidel平滑器与Jacobi平滑器进行了比较。数值和定时结果Nalu-Wind和PeleLM燃烧代码，其中ILU与迭代三角形求解器被证明是更有效的多项式高…
2021-12-29 cs.MS cs.NA math.NA
A multigrid method for CutFEM and its implementation on GPU
本文提出一种面向CutFEM非拟合有限元离散的多重网格方法，采用Nitsche方法和ghost penalties稳定化，并在GPU上实现并行顶点片光滑器，实验表明该方法收敛快且相比拟合方法运行时间损失适中。
2025-08-15 cs.NA math.NA
Efficient solution of 3D elasticity problems with smoothed aggregation algebraic multigrid and block arithmetics
三维弹性力学问题的有效求解是许多工业和科学应用的重要组成部分。光滑聚合代数多重网格使用刚体模式的暂定延长运营商建设是一个有效的和强大的选择所产生的弹性方程离散化的线性系统的解决方案。多重网格体系中每一层上的系统矩阵都具有块结构，因此采用块表示和块算法可以显著提高求解效率。然而，试探性的延拓算子构造只能使用标量表示来完成。本文提出了一对夫妇的实用方法，使使用块算法与平滑聚合代数多重网格的基础上开放源代码AMGCL库。对两个实际世界模型问题的计算表明，所提改进可使求解速度提高50%，预条件子所需内存减少30%。实现是简单的，只需要最少的代码。
2022-02-18 cs.MS cs.NA math.NA
Learning Relaxation for Multigrid
在过去的十年中，神经网络（NN）已被证明是许多工程领域中非常有效的工具，包括自动驾驶汽车，医疗诊断和搜索引擎，甚至在艺术创作中。事实上，NN通常决定性地优于传统算法。一个领域，最近才吸引了显着的兴趣是使用神经网络设计数值求解器，特别是离散偏微分方程。最近的几篇论文已经考虑采用神经网络开发多重网格方法，这是一个领先的计算工具，解决离散偏微分方程和其他稀疏矩阵问题。我们扩展这些新的想法，专注于所谓的松弛算子（也称为平滑），这是一个重要组成部分的多重网格算法，还没有得到太多的关注，在这种情况下。我们探索了一种方法，使用神经网络学习松弛参数的合奏的扩散算子的随机系数，雅可比型平滑和4色GaussSeidel平滑。后者产生非常有效和易于并行化连续过松弛（SOR）平滑。此外，这项工作表明，学习松弛参数相对较小的网格，使用两个网格的方法和Gelfand的公式作为损失函数可以很容易地实现。这些方法有效地产生接近最优的参数，从而显着提高收敛速度的多重网格算法在大网格上。
2022-07-25 cs.LG cs.NA math.NA
A Vanka-based parameter-robust multigrid relaxation for the Stokes-Darcy Brinkman problems
我们提出了一个块结构的多重网格松弛格式求解Stokes-Darcy Brinkman方程离散的标记和细胞计划。一个基于元素的添加剂Vanka平滑器被用来解决相应的移位拉普拉斯算子。利用局部傅里叶分析，我们提出了一个模板的添加剂Vanka平滑，并推导出一个最佳的平滑因子Vanka为基础的Braess-Sarazin松弛的Stokes-Darcy Brinkman方程。虽然最优阻尼参数与网格尺寸和物理参数有关，但它非常接近于一个。数值计算结果表明，该松弛格式具有较高的计算效率，且对物理参数和网格尺寸具有较强的鲁棒性。使用等于1的阻尼参数给出了几乎相同的结果，这些最佳的阻尼参数在较低的计算开销。
2022-04-04 cs.NA math.NA
Local Fourier Analysis of a Space-Time Multigrid Method for DG-SEM for the Linear Advection Equation
在本文中，我们提出了一个局部傅里叶分析的时空多重网格求解器的双曲型测试问题。时空离散在时间上采用任意高阶间断Galerkin谱元方法，在空间上采用一阶有限体积法。我们应用块雅可比平滑，并考虑在时空粗化，以及时间粗化。光滑和两个网格方法的粗化策略的渐近收敛因子。对于高CFL数，两种策略的收敛因子对于一阶是$0.5$，对于二阶精确时间近似是$0.375$。在一个和两个空间维度的不同顺序的时空DG-SEM离散的数值实验给出了更好的收敛速度周围的$0.3$和$0.25$足够高的CFL数。
2021-12-06 cs.NA math.NA
A Local Fourier Analysis for Additive Schwarz Smoothers
本文提出一种通用局部傅里叶分析框架，用于研究加性 Schwarz 光滑子在多重网格中的收敛性，可先验确定补丁大小、重叠及权重最优值，并适用于高阶有限元和鞍点问题。
2023-10-13 cs.NA math.NA
Algebraic Multigrid with Overlapping Schwarz Smoothers and Local Spectral Coarse Grids for Least Squares Problems
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；UK Atomic Energy Authority（英国原子能管理局）
本文提出了一种基于代数多重网格和域分解的最小二乘问题求解方法，通过局部频谱粗空间和重叠Schwarz平滑器实现高效鲁棒收敛。
2026-01-08 cs.NA math.NA
Parameter-robust Braess-Sarazin-type smoothers for linear elasticity problems
在这项工作中，我们提出了三个Braess-Sarazin型多重网格松弛格式求解线弹性问题，其中标记和细胞计划，有限差分法，用于离散。三种松弛方案是Jacobi-Braess-Sarazin、Mass-Braess-Sarazin和Vanka-Braess-Sarazin。对块结构松弛格式进行了局部傅里叶分析，研究了多重网格的收敛性。从LFA，我们得到最佳的LFA平滑因子为每种情况。我们得到高效的平滑因子，这是独立的Lamé常数。Vanka-Braess-Sarazin松弛方案导致最有效的一个。在每个松弛中，需要求解舒尔补系统。由于直接求解往往是昂贵的，一个不精确的版本，我们只是使用最多三个加权雅可比迭代的舒尔补系统。最后，两个网格和V-循环多重网格性能验证我们的理论结果。我们的数值结果表明，不精确的版本可以达到相同的性能，精确版本和我们的方法是鲁棒的Lamé常数。
2022-04-22 cs.NA math.NA
Multigrid in H(div) on Axisymmetric Domains
在本文中，我们将构造和分析一个多重网格算法，可以应用于加权H（div）-问题的二维区域。这些问题出现后，进行降维的三维轴对称H（div）-问题。我们将使用最近开发的傅立叶有限元空间，可以适用于轴对称H（div）-一般数据的问题。我们证明了，如果轴对称区域是凸的，那么与现代smoothers多重网格V-循环将收敛一致的网格大小。
2019-11-21 cs.NA math.NA
Optimized sparse approximate inverse smoothers for solving Laplacian linear systems
本文提出并分析了一种新的高效稀疏近似逆（SPAI）平滑器，用于求解二维和三维Laplacian线性系的几何多重网格方法.局部傅里叶分析表明，我们提出的2D SPAI平滑器实现了比[Bolten，M.，Huckle，T.K.和克拉夫瓦里蒂斯，C.D.，2016.多重网格法的稀疏矩阵逼近。线性代数及其应用，502，第58 -76页。所提出的SPAI平滑器的3D情况下提供了更小的最佳平滑因子比加权雅可比平滑器。数值结果验证了我们的理论结论，并说明了我们提出的SPAI平滑的高效率和高效果。这种SPAI平滑器具有固有并行性的优点。用于实现我们提出的算法的MATLAB代码可在http://github.com/junliu2050/SPAI-MG-Laplacian在线公开获得。
2022-06-11 cs.DC cs.NA math.NA
Fast multigrid solvers for conforming and non-conforming multi-patch Isogeometric Analysis
等几何分析是一种用于边值问题的高阶离散化方法，它使用的自由度与低阶方法一样小。标准的等几何离散化需要计算域的全局参数化。在非平凡的情况下，域被分解成具有单独的参数化和单独的离散空间的补丁。如果离散空间在贴片之间的界面上一致，则可以以一致的方式进行耦合。否则，非协调离散化（利用不连续Galerkin方法）是必需的。作者和他的同事以前介绍了多重网格求解器等几何分析符合的情况。本文将这些结果推广到非协调情形。此外，它表明，多重网格解决得到更强大的，如果建议平滑结合（标准）高斯-赛德尔平滑。
2019-06-17 cs.NA math.NA
Analysis of a Time Multigrid Algorithm for DG-Discretizations in Time
Inst. of Comp. Mathematics（计算数学研究所）
本文提出并分析了一种时间多重网格算法，用于时间离散化的DG方法，推导出优化的平滑参数和收敛估计，适用于任何A-稳定的时间步进方案。
2014-09-30 cs.NA math.NA
Adaptive multigrid for high-order discontinuous Galerkin methods based on the full approximation scheme
TU Dresden, Institute of Fluid Mechanics（德累斯顿工业大学流体力学研究所）
该研究提出一种基于全近似格式的自适应多重网格方法，可实现六面体网格局部hp加密，经实验验证其效率、鲁棒性及动态并行网格适配能力，还初步扩展至不可压缩Navier-Stokes问题。
2026-08-31 cs.NA math.NA
Scalable smoothing strategies for a geometric multigrid method for the immersed boundary equations
University of North Carolina, Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校）；Rice University（莱斯大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）
本文提出适用于并行计算的改进多网格预处理方法，用于求解Stokes浸入边界方程，展示了加法Vanka平滑器和Schur补平滑器的有效性，并分析了不同材料刚度和雷诺数下的求解性能。
2016-12-07 cs.NA math.NA
Matrix-free Monolithic Multigrid Methods for Stokes and Generalized Stokes Problems
我们考虑广泛使用的连续$\mathcal{Q}_{k}$ - $\mathcal{Q}_{k-1}$四边形或六面体Taylor-Hood单元，用于二维和三维空间中Stokes和广义Stokes系统的有限元离散。对于相应的对称，但不确定的系统的有限元方程的快速解决方案，我们提出和分析矩阵自由单片几何多重网格求解器，是基于适当缩放的切比雪夫-雅可比平滑。该分析基于Schöberl和Zulehner（2003）的结果。我们提出并讨论了几个典型的基准问题的数值结果。
2022-05-31 cs.NA math.NA
Neural Multigrid Architectures
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科技学院）
提出一种简洁的无矩阵神经多重网格架构，通过参数共享和层序列化训练，在数千至数百万未知数问题上高效，可为几何多重网格找到最优光滑器，使误差传播矩阵谱半径缩小2-5倍。
2024-02-08 cs.AI cs.NA math.NA
A smoothing analysis for multigrid methods applied to tempered fractional problems
考虑含时空间回火分数阶扩散方程的数值解。在时间上使用Crank-Nicolson，在空间上使用二阶精确的回火加权和移位Grünwald差，导致稠密（多级）Toeplitz类线性系。通过利用相关的结构，我们设计了一个ad-hoc多重网格求解器和基于多重网格的预处理器，所有加权雅可比平滑。提供了一种新的平滑分析，它细化了扩展合适的Jacobi权重集的最新结果。此外，我们证明，如果一个多重网格方法是有效的非回火的情况下，那么同样的多重网格方法也是有效的回火的。数值结果证实了理论分析，表明所得到的基于多重网格的求解器是计算有效的回火分数扩散方程。
2022-10-10 cs.NA math.NA
An energy-efficient GMRES-Multigrid solver for space-time finite element computation of dynamic poro- and thermoelasticity
提出了求解双曲-抛物耦合多孔弹性或热弹性方程组的时空有限元法族。证明了离散问题的适定性。高阶近似继承了计算上可行的网格上的连续问题的解决方案的大多数丰富的结构是自然嵌入的。然而，对于这些族的成员，代数系统的块结构和解变得越来越复杂。我们提出并分析了一个强大的几何多重网格（GMG）预处理GMRES迭代。GMG方法使用局部Vanka型平滑器。它的作用是以精确的数学方式定义的。由于未知量的非局部耦合机制，平滑器应用于单元的补丁。这确保了误差频率的衰减。在一系列的数值实验中，包括一个具有挑战性的三维基准的实际利益，效率的求解器STFEM的说明和确认。分析了其并行可扩展性。除了经典的性能工程的研究，求解器的能源效率进行了调查，作为一个额外的和新兴的尺寸在设计和调整的算法及其硬件上的实现。
2023-03-12 cs.NA math.NA
A geometric multigrid method for space-time finite element discretizations of the Navier-Stokes equations and its application to 3d flow simulation
提出了一种基于Vanka光滑单元的几何多重网格（GMG）方法，用于求解不可压斯托克斯方程的高阶时空有限元法（STFEM）。STFEM被实现为时间推进方案。GMG求解器作为GMRES迭代的预处理器。它的性能特性证明了二维和三维基准的圆柱绕流。GMG方法的关键成分是在各个子区间的所有自由度上构建局部Vanka平滑器及其有效应用。为此，生成了存储所有层次级别的雅可比矩阵的预先计算的单元逆并且仅需要合理量的存储器开销的数据结构。为\emph{deal.II}有限元库建立了GMG方法。这些概念是灵活的，可以转移到类似的软件平台。
2022-07-12 cs.NA math.NA
The full approximation storage multigrid scheme: A 1D finite element example
本文描述了一个简单的一维非线性边值问题的全近似存储（FAS）多重网格格式。该问题是离散的一个简单的有限元（FE）计划。我们应用FAS V-循环和F-循环，与非线性高斯-赛德尔平滑，解决由此产生的有限维问题。数学的FAS限制和延长运营商，在FE的情况下，解释。一个独立的Python程序实现了这个方案。最佳性能，即工作的未知数的数量成正比，证明了这两种周期，包括收敛几乎离散化误差在一个单一的F-周期。
2022-02-02 cs.NA math.NA
A restricted additive smoother for finite cell flow problems
Ruhr University Bochum（鲁尔大学波鸿分校）
本文提出了一种适用于大规模有限元流问题的受限加法平滑器，具有良好的并行性能和可扩展性。
2026-01-19 cs.NA math-ph math.MP
Deep Learning Accelerated Algebraic Multigrid Methods for Polytopal Discretizations of Second-Order Differential Problems
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
本文提出一种深度学习方法，自动调整AMG求解器中的强阈值参数和平滑器选择，以提高多面体离散化问题的求解效率。
2025-12-30 cs.NA math.NA
A multigrid solver for PDE-constrained optimization with uncertain inputs
针对含不确定输入的PDE约束优化中的大型鞍点系统，提出一种基于集体光滑子的多重网格算法，证明其简化系统求解达最优$O(N)$复杂度，在三类问题测试中均表现出优异性能和参数鲁棒性。
2024-05-17 cs.NA math.NA math.OC
An adaptive multigrid solver for DPG methods with applications in linear acoustics and electromagnetics
提出了一种自适应多重网格预处理技术，用于求解由不连续Petrov-Galerkin（DPG）离散化引起的线性系。与标准的多重网格技术不同，该预条件只涉及定义在网格骨架上的迹空间，适用于自适应hp网格。构造的关键点是将迭代求解器与由DPG技术提供的全自动和可靠的网格细化过程相结合。的解决方案的技术的功效展示与线性声学和电磁模拟，包括在高频政权，否则将是棘手的问题的模拟的许多例子。最后，我们分析了一级预处理（平滑）均匀网格，我们证明了理论估计的预处理线性系的条件数可以来自良好的自伴正定算子理论的基础上。
2020-10-14 cs.NA math.NA
