具有奇数Andreev数的单值幂零奇点与中心问题
Monodromic nilpotent singular points with odd Andreev number and the center problem
AI总结：
本文研究了平面向量场中具有奇数Andreev数的幂零奇点，刻画了逆积分因子方法无法求解中心问题的系统族，确定了各$n$的必要中心条件，并解决了$n=3$时的中心问题。
摘要：
给定平面向量场的幂零奇点，其单值性与Andreev数$n$相关。$n$的奇偶性决定了逆积分因子的存在是否意味着该奇点为幂零中心。对于$n$为奇数，这并不总是成立。我们给出了一族具有Andreev数$n$且中心问题无法通过逆积分因子方法求解的系统的刻画。此外，我们研究了该族系统的一般性质，确定了每个$n$的必要中心条件，并解决了$n=3$时的中心问题。
英文摘要：
Given a nilpotent singular point of a planar vector field, its monodromy is associated with its Andreev number $n$. The parity of $n$ determines whether the existence of an inverse integrating factor implies that the singular point is a nilpotent center. For $n$ odd, this is not always true. We give a characterization for a family of systems having Andreev number $n$ such that the center problem cannot be solved by the inverse integrating factor method. Moreover, we study general properties of this family, determining necessary center conditions for every $n$ and solving the center problem in the case $n=3$.
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