Tensor categories and the mathematics of rational and logarithmic conformal field theory
本文综述了由顶点算子代数的表示构造辫张量范畴和模张量范畴的方法，它们对应于物理学中的手征代数。作为这种构造的基础的广泛和一般的理论也建立了交织算子的算子乘积展开，其对应于手征顶点算子，并且更一般地，它建立了对数交织算子的对数算子乘积展开。本文回顾了张量积双函子和结合同构的构造思想。对于有理和对数共形场论，我们回顾了产生辫张量范畴的精确结果，以及在有理的情况下，模张量范畴。在有理共形场论的情况下，我们也简要地讨论了Wess-Zumino-Novikov-Witten模型的模张量范畴的构造，特别是最近关于这一重要特例的模张量范畴的基本刚性性质的证明的发现.在对数共形场论的情况下，我们提到了三元组\mathcal{W} -代数的模的合适范畴，作为我们的辫子张量范畴结构的一般构造的应用的一个例子。
2013-10-01 hep-th math-ph math.MP
Logarithmic tensor product theory for generalized modules for a conformal vertex algebra, Part I
我们推广的张量积理论的一个顶点算子代数先前开发的一系列文件中的前两个作者适当的模块类别的“共形顶点代数”，甚至更一般地说，为“莫比乌斯顶点代数。我们不要求模范畴是半单的，并且我们容纳具有广义权空间的模。在前面的系列论文中，我们的张量积函子依赖于一个复变数，但在目前的一般性，对数的复变数参与。这第一部分致力于研究对数缠绕算子及其在张量积函子构造中的作用。本书的第二部分将致力于构造三重张量积函子之间的适当的自然结合性同构，证明它们的基本性质，并构造由此产生的辫状张量范畴结构。这项工作包括在目前的一般性完整的证明，可以独立阅读的早期系列文件。
2006-09-29 hep-th math.QA math.RT
Logarithmic tensor product theory for generalized modules for a conformal vertex algebra
我们推广的张量积理论的一个顶点算子代数先前开发的一系列文件中的前两个作者适当的模范畴的“共形顶点代数”，甚至更一般地说，为“莫比乌斯顶点代数。我们不要求模范畴是半单的，并且我们容纳具有广义权空间的模。在前面的系列论文中，我们的张量积函子依赖于一个复变数，但在目前的一般性，对数的复变数是必需的;一般表示论的顶点算子代数需要对数结构。本文的第一部分研究对数缠绕算子及其在构造张量积函子中的作用。其余的这项工作是致力于建设适当的自然结合同构之间的三重张量积函子，证明其基本性质，并建设由此产生的编织张量范畴结构。这项工作包括在目前的一般性完整的证明，可以独立阅读的早期系列文件。
2008-07-06 hep-th math.QA math.RT
Logarithmic Link Invariants of $\overline{U}_q^H(\mathfrak{sl}_2)$ and Asymptotic Dimensions of Singlet Vertex Algebras
研究了在$2r$次单位根$q=e^{πi/r}, r \geq 2$上的限制展开量子群$\overline{U}_q^H(\mathfrak{sl}_2)$与单重顶点算子代数$\mathcal M(r)$之间的关系.我们使用可变形模族来有效地计算$\overline{U}_q^H(\mathfrak{sl}_2)$的投射模着色的$(1, 1)$ -tangle不变量。这些涉及到有色亚历山大缠结不变量研究[ADO，M1]。证明了$\mathcal M(r)$特征标的正则化渐近维数与相应的开Hopf链不变量的修正迹是一致的.我们还讨论了各种范畴性质的$\mathcal M(r)$ -mod的编织张量范畴。
2016-05-18 hep-th math.GT math.NT
Cofiniteness conditions, projective covers and the logarithmic tensor product theory
当V是满足下列条件的顶点算子代数时，我们构造了分次限制广义V-模范畴中不可约V-模的投射覆盖：1. V在Li意义下是C_{1} -余有限的. 2.存在一个正整数N，使得不可约V-模的最低共形权的实部之差有N的界，并且使得结合代数A_{N}（V）是有限维的.这一结果表明分次限制广义V-模范畴是C上的有限交换范畴。利用投射覆盖的存在性，证明了如果这样的顶点算子代数V在加法条件3中满足不可约V-模是R-分次的且在作者意义下是C_{1} -上有限的，则分次限制广义V-模范畴在C^{ \times }中对z的P（z）-张量积运算下是闭的.我们还证明了Lepowsky、Zhang和作者发展的对数张量积理论的其它应用条件也成立。因此，对于这样的V，这个范畴具有辫子张量范畴的自然结构。特别地，当$V$具有正能量且C_{2} -上有限时，满足条件1- 3，因此所有结论都成立。
2007-12-26 hep-th math.QA math.RT
The tensor structure on the representation category of the $\mathcal{W}_p$ triplet algebra
研究了三重$W$ -代数$\mathcal{W}_p$的表示范畴-交换范畴$\mathcal{W}_p$ -mod上的融合积所诱导的辫子幺半群结构. $\mathcal{W}_p$ -代数是一族顶点算子代数，它们构成了对数共形场论的对称代数的已知最简单的例子。我们形式化的方法计算融合产品，开发的Nahm，Gaberdiel和Kausch，被广泛用于物理文献，并说明了一个系统的方法来计算融合产品在非半简单的表示类别。我们将这些方法应用于编织monoidal结构的$\mathcal{W}_p$ -mod，以前构造的黄，Lepowsky和张，证明这种编织monoidal结构是刚性的。$\mathcal{W}_p$ -模的刚性使我们能够证明所有单和所有投射$\mathcal{W}_p$ -模的集合上的融合积的显式公式，这些公式首先由Fuchs，Hwang，Semikhatov和Tipunin以及Gaberdiel和Runkel提出。
2013-10-21 hep-th math.QA
The Nichols algebra of screenings
在二维共形域论模型中，两个相关的构造与屏蔽算子相关联。一个是根据给定CFT模型中的屏蔽物种所张成的编织向量空间X和顶点算子空间Y构造的局部系统，另一个是Nichols代数B（X）及其Yetter-Drinfeld模的范畴，我们提出作为代数对应物，在Kazhdan-Lusztig对偶的“编织”版本中，在对数CFT模型中实现的顶点算子代数的表示范畴。
2011-11-23 hep-th math-ph math.MP
Minimal nondegenerate extensions
Dalhousie University（达尔豪斯大学）；Perimeter Institute for Theoretical Physics（理论物理珀蒂默研究所）；Universität Hamburg（汉堡大学）
本文研究了辫状融合范畴的最简非退化扩展，通过融合2范畴理论证明了其存在性，并发展了计算技术。
2023-06-14 math.CT math.QA math.RT
The Drinfeld-Kohno theorem for the superalgebra $gl(1|1)$
我们重新推导Knizhnik-Zamolodchikov方程的情况下，非半单范畴的超代数的模的情况下，通用的仿射水平和表示参数。证明了超代数$gl(1|1)$的渐近解的存在性及其性质，为证明满足辫子张量范畴要求的结合子的存在性提供了基础.计算了$U_h(gl(1|1))$量子代数的辫子张量积范畴结构，证明了当模的能级和参数之间具有相同的类属关系时，张量积环与$gl(1|1)$环同构.本文讨论了Geer提出的非半单模范畴的Drinfeld-Kohno定理的证明，并证明了该定理对超代数$gl(1|1)$仍然有效.文中还给出了KZ方程对数解的例子。
2021-05-07 hep-th math-ph math.MP
Rigidity of non-negligible objects of moderate growth in braided categories
本文研究了辫状范畴中非可忽略对象的刚性性质，并探讨了其在半单范畴和对数共形场论中的应用。
2026-07-29 math.CT math.QA math.RT
$C_{1}$-cofiniteness and vertex tensor categories
本文推广对数张量范畴理论至模范畴不封闭情形，证明$C_{1}$-余有限广义模的交织算子满足结合性，并赋予该模范畴自然的顶点张量范畴结构。
2025-09-25 math.QA
Kazhdan-Lusztig Correspondence for Vertex Operator Superalgebras from Abelian Gauge Theories
FAU Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）；Perimeter Institute for Theoretical Physics（理论物理前沿研究所）
本文通过拓扑B扭的阿贝尔规范理论边界VOA，证明了顶点算子超代数的Kazhdan-Lusztig对应关系，并将线缺陷视为Hopf代数模块，同时验证了Semikhatov-Tipunin猜想的一个案例。
2026-01-13 hep-th math-ph math.MP
A Tensor Category Construction of the $W_{p,q}$ Triplet Vertex Operator Algebra and Applications
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences（上海数学与交叉学科研究院）
本文提出了一种新的$W_{p,q}$三元顶点算子代数构造方法，并研究了其张量范畴结构及应用。
2026-02-09 hep-th math.QA math.RT
Batalin-Vilkovisky quantization with an angular twist
University of Belgrade（贝尔格莱德大学）；Heriot-Watt University（赫瑞-瓦特大学）
本文结合 Batalin-Vilkovisky 方法与谐分析，在 λ-Minkowski 空间构建立方标量场理论，产生两种非等价的非交换量子场理论，探讨角 Drinfel'd twist 的谱分解及 UV/IR 混合现象。
2026-10-22 hep-th math-ph math.MP
Fusion in the entwined category of Yetter--Drinfeld modules of a rank-1 Nichols algebra
我们重新推导出一个流行的nonsemisimple融合代数的辫子的上下文中，从尼科尔斯代数。连同我们发现的简单Yetter-Drinfeld模的乘积的分解，这强烈地表明，相关的Nichols代数在共形域论的（p，1）对数模型中与三重W-代数等价。为此，Yetter-Drinfeld模的范畴被认为是一个\textit{entwined}范畴（具有单值性，但不具有编织性的范畴）。
2012-04-22 hep-th math-ph math.MP
Fusion and (non)-rigidity of Virasoro Kac modules in logarithmic minimal models at $(p,q)$-central charge
设$\mathcal{O}_c$是中心荷Virasoro李代数$c$的有限长模范畴，其合成因子是可约Verma模的不可约同积.对于任何$c\in\mathbb{C}$，这个范畴允许Huang，Lepowsky和Zhang的顶点代数辫子张量范畴结构。在这里，我们开始详细研究$\mathcal{O}_{c_{p,q}}$其中$c_{p,q} = 1-\frac{6(p-q)^2}{pq}$为相对素数$p, q \geq 2$ ;在共形场论，$\mathcal{O}_{c_{p,q}}$对应于对数扩展的中心电荷$c_{p,q}$ Virasoro最小模型。我们特别关注Virasoro Kac模$\mathcal{K}_{r,s}$，$r,s\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$，在由Morin-Duchesne，Rasmussen和Ridout定义的$\mathcal{O}_{c_{p,q}}$中，它们是Virasoro代数的Feigin-Fuchs模的有限生成子模.我们证明了当$1\leq r\leq p$和$1\leq s\leq q$时，$\mathcal{K}_{r,s}$是刚性的和自对偶的，但当$r>p$或$s>q$时，并不是所有的$\mathcal{K}_{r,s}$都是刚性的.也就是说，$\mathcal{O}_{c_{p,q}}$不是严格的张量范畴。证明了$\ma…
2024-02-27 hep-th math-ph math.MP
The vertex algebras $\mathcal R^{(p)}$ and $\mathcal V^{(p)}$
在[2]中引入的顶点代数$V^{(p)}$和$R^{(p)}$是著名的对数CFT三元组代数的非常有趣的亲戚。代数$V^{(p)}$（分别为$R^{(p)}$）是单仿射顶点代数$L_k(\mathfrak{sl}_2)$（分别为$L_k(\mathfrak{sl}_2)$乘以海森堡代数）的大扩展，在$k=-2+1/p$层上对正整数$p$。在本文中，我们得到了这些代数的结构结果，并证明了来自表示论和物理学的各种推论。我们证明了SU（2）作为$V^{(p)}$上的自同构，并将$V^{(p)}$分解为$L_k(\mathfrak{sl}_2)$ -模，将$R^{(p)}$分解为$L_k(\mathfrak{gl}_2)$ -模.对$V^{(p)}$的分解表明，$V^{(p)}$是角顶点代数在S-对偶下的大水平极限.我们还证明了$V^{(p)}$的量子哈密顿约化是在[12]中引入的对数偶线代数$A^{(p)}$，而$R^{(p)}$的约化得到[39]中的$B^{(p)}$ -代数.相反，我们实现了$V^{(p)}$和$R^{(p)}$从$A^{(p)}$和$B^{(p)}$通过一个过程，值得被称为逆量子哈密顿约化。作为推论，我们得到了$k=-2+1/p$层上的普通$L_k(\mathfrak{sl}_2)$ -模范畴$KL_{k}$是一个刚性顶点张量范畴，等价于范畴Rep $(SU(2))$…
2020-01-22 hep-th math.QA math.RT
A Kazhdan-Lusztig correspondence for $L_{-\frac{3}{2}}(\mathfrak{sl}_3)$
秩大于1的不可积仿射顶点代数上的光滑权模范畴的交换和么半群结构是一个有趣的、困难的、本质上是广泛开放的问题。甚至还缺少一些装饰。这项工作的细节和测试这样的猜想$L_{-\frac{3}{2}}(\mathfrak{sl}_3)$通过对数Kazhdan-Lusztig对应。我们首先研究了$\overline{U}^H_i(\mathfrak{sl}_3)$的表示论，它是$\mathfrak{sl}_3$在四阶单位根处的展开限制量子群。特别地，我们分析了它的有限维权范畴，确定了所有射影不可分解的Loewy图，并分解了所有不可约的张量积。我们的动机是，这个范畴是一个等价于$W_{A_2}^0(2)$ -模范畴的编织张量。这里，$W_{A_2}^0(2)$是一个orbifold的八重顶点代数$W_{A_2}(2)$的Semikhatov，后者是自然的$\mathfrak{sl}_3$ -类似物的众所周知的三重代数。此外，$W_{A_2}^0(2)$是仿射顶点代数$L_{-\frac{3}{2}}(\mathfrak{sl}_3)$的仿费米子陪集。我们提出了一个关于$W_{A_2}^0(2)$和$\overline{U}^H_i(\mathfrak{sl}_3)$的表示论的猜想，并给出了相应的$L_{-\frac{3}{2}}(\mathfrak{sl}_3)$ -模的结构.特别是，我们获得…
2021-12-25 hep-th math.QA math.RT
Fibre functors and reconstruction of Hopf algebras
本文提出Tannaka-Krein型重构定理，证明当张量范畴具有相容的monoidal模范畴结构时，可通过相对coend重构辫子Hopf代数，并应用于对数Kazhdan-Lusztig猜想。
2024-05-16 math.CT math.QA
Nichols algebras, tensor categories and Kazhdan-Lusztig correspondences
本文综述了顶点代数经筛选算子核后的表示论，指出其与Nichols代数相对Drinfeld中心的范畴等价猜想，并介绍了作者在自由场理论下证明该猜想的主要技术。
2025-09-16 hep-th math.QA
A physical approach to the classification of indecomposable Virasoro representations from the blob algebra
在共形场论（CFT）的背景下，由维拉索罗代数的表示理论可以得到许多结果.虽然最近对对数CFTs的兴趣一直在增长，但与这些量子场论相对应的Virasoro表示仍然非常复杂，从而阻碍了我们对各种临界现象的理解。本文扩展了Read和Saleur（2007）的构造，揭示了维拉索罗代数与描述二维统计模型性质的有限维代数（所谓的blob代数，Temperley-Lieb代数的适当扩展）之间的深层关系.这使我们能够探索大量的Virasoro表示（投影，倾斜，广义交错模块等），并对可能出现在相容的物理对数CFT中的所有可能的不可分解Virasoro模（特别是具有任意秩的L_0 Jordan胞腔的Virasoro模）进行了分类，其中Virasoro是极大局部手征代数.作为副产品，我们解决和代数分析量子群对称XXZ自旋链和sl（2| 1）在边界处具有额外自旋的超对称自旋链，以及Martin和Woodcock（2004）引入的“镜像”自旋链。
2013-03-23 hep-th math-ph math.MP
Fusion rules and rigidity for weight modules over the simple admissible affine $\mathfrak{sl}(2)$ and $\mathcal{N}=2$ superconformal vertex operator superalgebras
Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Universitat de València（瓦伦西亚大学）；Cardiff University（卡迪夫大学）；Research Institute for Mathematical Sciences Kyoto University（京都大学数学科学研究所）
研究简单$\mathfrak{sl}(2)$和$\mathcal{N}=2$超共形顶点算子代数上权模，证明其权模范畴刚性及融合积分解公式成立，通过积分屏蔽流开发新技术，给出$\mathfrak{sl}(2)$对数交织算子显式公式。
2026-07-15 hep-th math-ph math.MP
