Grassmann代数生成簇中的对称多项式
Symmetric polynomials in the variety generated by Grassmann algebras
摘要：
令$\mathcal{G}$表示由无限维格拉斯曼代数生成的簇;即，所有满足恒等式$[[z_1,z_2],z_3]=0$的酉结合代数的集合，其中$[z_i,z_j]=z_iz_j-z_jz_i$。考虑由$X_3=\{x_1,x_2,x_3\}$生成的$\mathcal{G}$中的自由代数$F_3$。代数$F_3$的换位子理想$F_3'$具有自然的$K[X_3]$ -模结构.如果对于每个置换$ξ\in S_3$都有$p(x_1,x_2,x_3)=p(x_{\xi1},x_{\xi2},x_{\xi3})$，则我们称元素$p\in F_3$是对称的。对称元素形成$F_3$中对称群$S_3$的不变量的子代数$F_3^{S_3}$。给出了$K[X_3]^{S_3}$ -模$(F_3')^{S_3}$的一个自由生成集.
英文摘要：
Let $\mathcal{G}$ denote the variety generated by infinite dimensional Grassmann algebras; i.e., the collection of all unitary associative algebras satisfying the identity $[[z_1,z_2],z_3]=0$, where $[z_i,z_j]=z_iz_j-z_jz_i$. Consider the free algebra $F_3$ in $\mathcal{G}$ generated by $X_3=\{x_1,x_2,x_3\}$. The commutator ideal $F_3'$ of the algebra $F_3$ has a natural $K[X_3]$-module structure. We call an element $p\in F_3$ symmetric if $p(x_1,x_2,x_3)=p(x_{\xi1},x_{\xi2},x_{\xi3})$ for each permutation $ξ\in S_3$. Symmetric elements form the subalgebra $F_3^{S_3}$ of invariants of the symmetric group $S_3$ in $F_3$. We give a free generating set for the $K[X_3]^{S_3}$-module $(F_3')^{S_3}$.
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