双重迭代外 $L^p$ 空间的对偶性
Duality for double iterated outer $L^p$ spaces
AI总结：
本文研究双重迭代外 $L^p$ 空间，证明在有限集合的特定外测度条件下以及 Uraltsev 上半 $3$-空间无穷情形下，这些空间一致同构于 Banach 空间并具有对偶性，同时给出反例说明一般有限情形下一致性并非总成立。
摘要：
我们研究双重迭代外 $L^p$ 空间，即与三个指数相关联、并定义在配备一个测度和两个外测度的集合上的外 $L^p$ 空间。我们证明，在有限集合情形下，当两个外测度之间满足一定条件时，双重迭代外 $L^p$ 空间同构于 Banach 空间，且该同构关于集合的基数是一致的。我们通过证明这些空间之间预期的对偶性质来实现这一结果。我们还提供了反例，表明至少在某个指数范围内，有限集合上的任意一般情形并不能保证这种一致性。我们进一步在 Uraltsev 所描述的上半 $3$-空间无穷情形下证明了双重迭代外 $L^p$ 空间与 Banach 空间的同构性以及它们之间的对偶性质，从而超越了有限集合的情形。
英文摘要：
We study the double iterated outer $L^p$ spaces, namely the outer $L^p$ spaces associated with three exponents and defined on sets endowed with a measure and two outer measures. We prove that in the case of finite sets, under certain conditions between the outer measures, the double iterated outer $L^p$ spaces are isomorphic to Banach spaces uniformly in the cardinality of the set. We achieve this by showing the expected duality properties between them. We also provide counterexamples demonstrating that the uniformity does not hold in any arbitrary setting on finite sets, at least in a certain range of exponents. We prove the isomorphism to Banach spaces and the duality properties between the double iterated outer $L^p$ spaces also in the upper half $3$-space infinite setting described by Uraltsev, going beyond the case of finite sets.
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