论局部集合论中的逻辑参数化与函数可表示性
On logical parameterizations and functional representability in local set theories
AI总结：
本文证明了局部集合论中语言topos的两个先验包含函子同构，并通过逻辑参数化揭示语法函数在目标理论中的自表示性。
摘要：
存在一个众所周知的包含映射 $ι_\mathscr{E}$，将 topos $\mathscr{E}$ 包含到其内部语言 $Σ$ 的语言 topos $\mathscr{T}(Σ)$ 中，证明了这两个 topos 是等价的。对于任何局部集合论 $S$，也存在一个规范翻译 $η_S$ 将其翻译到其语言 topos 的局部集合论 $Σ$ 中。从局部集合论出发，这产生了两个从 $\mathscr{T}(S)$ 到 $\mathscr{T}(Σ)$ 的先验不同的包含映射。本文证明了这两个函子是同构的。此外，研究了逻辑参数化的概念，并应用于说明 $ι_{\mathscr{T}(S)}$ 对 $\mathscr{T}(η_S)$ 进行参数化，使得语法 $S$-函数在 $Σ$ 中由其自身表示。
英文摘要：
There is a well-known inclusion $ι_\mathscr{E}$ of a topos $\mathscr{E}$ in the linguistic topos $\mathscr{T}(Σ)$ of its internal language $Σ$ that proves both toposes to be equivalent. There is also a canonical translation $η_S$ for any local set theory $S$ into the local set theory $Σ$ of its linguistic topos. Starting from a local set theory, this yields two a priori distinct inclusions from $\mathscr{T}(S)$ to $\mathscr{T}(Σ)$. Herein, these two functors are proved to be isomorphic. Furthermore, the concept of logical parameterization is investigated and then applied to see that $ι_{\mathscr{T}(S)}$ parameterizes $\mathscr{T}(η_S)$ in such a way that syntactic $S$-functions are represented by themselves in $Σ$.
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