立方格与其真子格的隔离
Isolations of cubic lattices from their proper sublattices
摘要：
一个（正定和积分）二次型被称为{ \it是二次型$f$的孤立}，如果它表示除了$f$本身之外的$f$的所有子型。二次型$f$的孤立项的最小秩如果存在，则记为$\text{Iso}(f)$。在这篇文章中，我们证明了$\text{Iso}(I_2)=5$和$\text{Iso}(I_3)=6$，其中$I_n=x_1^2+\dots+x_n^2$是任何正整数$n$的$n$平方和。在证明了对于任意正整数$n$，$I_n$总是存在一个孤立性之后，我们给出了$\text{Iso}(I_n)$的一些明确的上下界.特别是，我们表明，$\text{Iso}(I_n) \in Ω(n^{\frac32-ε})$的任何$ε>0$。
英文摘要：
A (positive definite and integral) quadratic form is called {\it an isolation} of a quadratic form $f$ if it represents all subforms of $f$ except for $f$ itself. The minimum rank of isolations of a quadratic form $f$ is denoted, if it exists, by $\text{Iso}(f)$. In this article, we show that $\text{Iso}(I_2)=5$ and $\text{Iso}(I_3)=6$, where $I_n=x_1^2+\dots+x_n^2$ is the sum of $n$ squares for any positive integer $n$. After proving that there always exists an isolation of $I_n$ for any positive integer $n$, we provide some explicit lower and upper bounds for $\text{Iso}(I_n)$. In particular, we show that $\text{Iso}(I_n) \in Ω(n^{\frac32-ε})$ for any $ε>0$.
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