关于带受限大小查询的 Rényi-Ulam 博弈
On the Rényi-Ulam Game with Restricted Size Queries
AI总结：
研究带受限大小查询的 Rényi-Ulam 博弈，提出 Convexity Lemma 工具给出查询数的一般上下界及大 $n$ 下的精确值，改进并推广了 $\ell=1$ 情形的已有结果。
摘要：
我们研究了著名的 Rényi-Ulam 博弈的如下版本。两名玩家——提问者和回答者——相互博弈。回答者从集合 $\{1,\ldots,n\}$ 中想一个数，提问者必须找出该数。为此，他可以询问一个至多包含 $k$ 个元素的选定集合是否包含所想之数。回答者立即回答 YES 或 NO，但在博弈过程中他最多可以说谎 $\ell$ 次。提问者确保找到未知元素所需的最少查询数记为 $RU_\ell^k(n)$。首先，我们开发了一个我们称之为 Convexity Lemma 的高效工具。利用该引理，我们给出了 $RU_\ell^k(n)$ 的一般下界，以及与该下界相差至多 $2\ell+1$ 的上界。当 $n$ 相对于 $k$ 足够大时，我们还给出了其精确值。借此，我们成功改进并推广了 Meng、Lin 和 Yang 在 2013 年一篇论文中关于 $\ell=1$ 情形的结果。
英文摘要：
We investigate the following version of the well-known Rényi-Ulam game. Two players - the Questioner and the Responder - play against each other. The Responder thinks of a number from the set $\{1,\ldots,n\}$, and the Questioner has to find this number. To do this, he can ask whether a chosen set of at most $k$ elements contains the thought number. The Responder answers with YES or NO immediately, but during the game, he may lie at most $\ell$ times. The minimum number of queries needed for the Questioner to surely find the unknown element is denoted by $RU_\ell^k(n)$. First, we develop a highly effective tool that we call Convexity Lemma. By using this lemma, we give a general lower bound of $RU_\ell^k(n)$ and an upper bound which differs from the lower one by at most $2\ell+1$. We also give its exact value when $n$ is sufficiently large compared to $k$. With these, we managed to improve and generalize the results obtained by Meng, Lin, and Yang in a 2013 paper about the case $\ell=1$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
