On the relative power of algebraic approximations of graph isomorphism

代数方法在图同构检验中的局限性

Limitations of Algebraic Approaches to Graph Isomorphism Testing

我们研究了基于代数推理技术的图同构算法，如格罗布纳基计算。这些算法的思想是将两个图编码成一个方程组，当且仅当图是同构的时，方程组是可满足的，然后使用例如格罗布纳基算法来（尝试）确定系统的可满足性。在某些情况下，这可以在多项式时间内完成，特别是，如果方程在代数证明系统（如Nullstellenetron或多项式演算）中允许有界度反驳。我们证明了线性下界的多项式演算度在所有领域的特征不同于2，也线性下界的程度Positivstellenbrand演算导子。我们比较这种方法最近研究的线性和半定规划方法同构测试，这是已知的组合Weisfeiler-Lehman算法。我们确切地证明了Weisfeiler-Lehman算法在代数证明系统方面的能力，该代数证明系统位于k度Nullstellenetrance和k度多项式演算之间。

Approximations of Isomorphism and Logics with Linear-Algebraic Operators

Invertible map equivalences are approximations of graph isomorphism that refine the well-known Weisfeiler-Leman method. They are parametrised by a number k and a set Q of primes. The intuition is that two graphs G and H which are equivalent with respect to k-Q-IM-equivalence cannot be distinguished by a refinement of k-tuples given by linear operators acting on vector spaces over fields of characteristic p, for any p in Q. These equivalences first appeared in the study of rank logic, but in fact they can be used to delimit the expressive power of any extension of fixed-point logic with linear-…

关于张量同构的代数证明复杂度

On the algebraic proof complexity of Tensor Isomorphism

本文研究张量同构问题的代数证明复杂度，给出PC和SoS度数的Ω(n)下界及有界秩情形的上界，并引入更强的PC+Inv系统以刻画线性代数推理能力。

Two algorithms to decide Quantifier-free Definability in Finite Algebraic Structures

This work deals with the definability problem by quantifier-free first-order formulas over a finite algebraic structure. We show the problem to be coNP-complete and present two decision algorithms based on a semantical characterization of definable relations as those preserved by isomorphisms of substructures, the second one also providing a formula in the positive case. Our approach also includes the design of an algorithm that computes the isomorphism type of a tuple in a finite algebraic structure. Proofs of soundness and completeness of the algorithms are presented, as well as empirical te…

线性丢番图方程、群CSP和图同构

Linear Diophantine Equations, Group CSPs, and Graph Isomorphism

近年来，我们已经看到了几种基于“通用”数学规划或代数（格罗布纳基）技术的图同构问题的方法。对于其中大多数，已经建立了下限。事实上，已经证明，非同构的CFI-图对（由蔡，Fürer和Immerman在1992年引入，作为组合Weisfeiler-Leman算法的硬例子）不能通过这些数学算法区分。一个值得注意的例外是域GF（2）上的代数算法，它的下界是未知的。另一种在某种程度上甚至更强的图同构测试方法是基于求解线性丢番图方程组（即整数上的线性方程组），已知这在多项式时间内是可能的。到目前为止，这种方法还没有下限。代数算法的下界可以在证明复杂性的框架中得到最好的证明，在那里它们可以被表述为代数证明系统的下界，例如Nullstellenetron或（更强大的）多项式演算。我们给出了这些系统的新的硬例子：非同构图对的家庭，很难区分多项式微积分证明同时在所有的素域，包括GF（2），以及难以区分的线性丢番图方程组的方法的例子。在以前的论文中，我们观察到的CFI-图是密切相关的，我们称之为“组CSP”：约束满足问题，其中的约束是在一些陪集的一个子群的carnival功率的基本组（Z_2的情况下，经典的CFI-图）的成员测试。我们的新例子也是基于群CSP（对于阿贝尔群），但在这里我们通过一些非群约束来扩展CSP，以获得更难的图同构实例。