通过 $B_1(X)$ 的实极大理想刻画实紧性
Real compactness via real maximal ideals of $B_1(X)$
AI总结：
本文利用由 $C(X)$ 真理想构造的 $B_1(X)$ 理想，建立二者实极大理想的一一对应及拓扑同胚，并据此刻画 Tychonoff 空间的实紧性，推出实紧 $T_4$ 且点为 $G_δ$ 时的有限性判据。
摘要：
本文从 $C(X)$ 的真理想出发构造了一类 $B_1(X)$ 的理想，由此在 $C(X)$ 的实极大理想类与 $B_1(X)$ 的实极大理想类之间建立了一一对应。文中证明，赋予壳核拓扑后，$B_1(X)$ 的全体实极大理想所成集合与 $C(X)$ 的实极大理想空间同胚；该空间上所赋的拓扑比由其结构空间诱导的子空间拓扑更细。此外还证明，一个 Tychonoff 空间是实紧的，当且仅当 $B_1(X)$ 的每个实极大理想都是固定的。由此得到推论：在点为 $G_δ$ 集的实紧 $T_4$ 空间类中，$B_1(X)={B_1}^*(X)$ 当且仅当 $X$ 有限。
英文摘要：
In this paper, constructing a class of ideals of $B_1(X)$ from proper ideals of $C(X)$ a one-one correspondence between the class of real maximal ideals of $C(X)$ and those of $B_1(X)$ is established. The collection of all real maximal ideals of $B_1(X)$ with hull-kernel topology is proved to be homeomorphic to the space of real maximal ideals of $C(X)$ endowed with a topology finer than the subspace topology induced from its structure space. It is also proved that a Tychonoff space is real compact if and only if every real maximal ideal of $B_1(X)$ is fixed. As a consequence, within the class of real compact $T_4$ spaces whose points are $G_δ$, $B_1(X) = {B_1}^*(X)$ if and only if $X$ is finite.
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