具有禁止同调 minors 的空间中的交集模式
Intersection patterns in spaces with a forbidden homological minor
AI总结：
本文研究了在任意可三角化的空间中，交集模式的集合系统的一般化结果，如分数 Helly 定理或 (p,q)-定理。通过定义 (K,b)-free cover 的概念，证明了对于任意 K 和 b，(K,b)-free cover 的分数 Helly 数不超过 μ(K)+1，从而推导出 (p,q)-定理在特定参数范围内成立。
摘要：
在本文中，我们研究了在任意可三角化的空间中，集合系统交集模式的经典结果，如分数 Helly 定理或 (p,q)-定理的推广。给定一个 simplicial 复形 K 和一个整数 b，我们说一个子复形族 F 是 (K,b)-free cover，如果 (i) K 是 X 的禁止同调 minor，且 (ii) 对于所有 0 ≤ j < dim K 和所有非空子族 G ⊆ F，j 阶减去 Betti 数 $ ildeβ_j(igcap_{S\in {\mathcal{G}}}S,\mathbb{Z}_2)$ 严格小于 b。我们证明对于任意 K 和 b，(K,b)-free cover 的分数 Helly 数至多为 μ(K)+1，其中 μ(K) 是 K 中两个不相交面的维度之和的最大值。这表明 (p,q)-定理的断言对于所有 p ≥ q > μ(K) 和任意 (K,b)-free cover F 成立。对于 b=1 和合适的 K，这恢复了原始的 (p,q)-定理及其对 good covers 的推广。有趣的是，我们的结果表明 (p,q)-定理成立的参数范围 (p,q) 与 b 无关。我们的证明使用了 Ramsey 型论证，结合 Bukh 等人提出的阶梯凸性概念，以构造 (禁止) 同调 minors 在某些立方复形中。
英文摘要：
In this paper we study generalizations of classical results on intersection patterns of set systems in $\mathbb{R}^d$, such as the fractional Helly theorem or the $(p,q)$-theorem, in the setting of arbitrary triangulable spaces with a forbidden homological minor. Given a simplicial complex $K$ and an integer $b$, we say that a family $\mathcal{F}$ of subcomplexes of some simplicial complex $X$ is a $(K,b)$-free cover if (i) $K$ is a forbidden homological minor of $X$, and (ii) the $j$th reduced Betti number $\tildeβ_j(\bigcap_{S\in {\mathcal{G}}}S,\mathbb{Z}_2)$ is strictly less than $b$ for all $0\leq j < \dim K$ and all nonempty subfamilies $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$. We show that for every $K$ and $b$, the fractional Helly number of a $(K,b)$-free cover is at most $μ(K)+1$, where $μ(K)$ is the maximum sum of the dimensions of two disjoint faces in $K$. This implies that the assertion of the $(p,q)$-theorem holds for every $p \ge q > μ(K)$ and every $(K,b)$-free cover $\mathcal{F}$. For $b=1$ and a suitable $K$ this recovers the original $(p,q)$-theorem and its generalization to good covers. Interestingly, our results show that that the range of parameters $(p,q)$ for which the $(p,q)$-theorem holds is independent of $b$. Our proofs use Ramsey-type arguments combined with the notion of stair convexity of Bukh et al. to construct (forbidden) homological minors in certain cubical complexes.
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