列随机化和几乎等距嵌入
Column randomization and almost-isometric embeddings
摘要：
矩阵$A:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$是$(δ,k)$ -正则的，如果对于任何$k$ -稀疏向量$x$，$$ \left| \|Ax\|_2^2-\|x\|_2^2\right| \leq δ\sqrt{k} \|x\|_2^2. $$我们表明，如果$A$对于$1 \leq k \leq 1/δ^2$是$(δ,k)$ -正则的，则通过将$A$的列乘以独立的随机符号，所得到的随机总体$A_ε$作用于任意子集$T \subset \mathbb{R}^n$（几乎），就好像它是高斯的，并且具有最优概率估计：如果$\ell_*(T)$是$T$和$d_T=\sup_{t \in T} \|t\|_2$的高斯平均宽度，则概率至少为$1-2\exp(-c(\ell_*(T)/d_T)^2)$，$$ \sup_{t \in T} \left| \|A_εt\|_2^2-\|t\|_2^2 \right| \leq C\left(Λd_T δ\ell_*(T)+(δ\ell_*(T))^2 \right), $$，其中$Λ=\max\{1,δ^2\log(nδ^2)\}$。该估计对于$0<δ\leq 1/\sqrt{\log n}$是最优的。
英文摘要：
The matrix $A:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ is $(δ,k)$-regular if for any $k$-sparse vector $x$, $$ \left| \|Ax\|_2^2-\|x\|_2^2\right| \leq δ\sqrt{k} \|x\|_2^2. $$ We show that if $A$ is $(δ,k)$-regular for $1 \leq k \leq 1/δ^2$, then by multiplying the columns of $A$ by independent random signs, the resulting random ensemble $A_ε$ acts on an arbitrary subset $T \subset \mathbb{R}^n$ (almost) as if it were gaussian, and with the optimal probability estimate: if $\ell_*(T)$ is the gaussian mean-width of $T$ and $d_T=\sup_{t \in T} \|t\|_2$, then with probability at least $1-2\exp(-c(\ell_*(T)/d_T)^2)$, $$ \sup_{t \in T} \left| \|A_εt\|_2^2-\|t\|_2^2 \right| \leq C\left(Λd_T δ\ell_*(T)+(δ\ell_*(T))^2 \right), $$ where $Λ=\max\{1,δ^2\log(nδ^2)\}$. This estimate is optimal for $0<δ\leq 1/\sqrt{\log n}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
