Improving Sketching Algorithms for Low-Rank Matrix Approximation via Sketch-Power Iterations
College of Mathematics and Information Science, Guangxi University（广西大学数学与信息科学学院）
本文提出一种轻量有效的 sketch-功率迭代方法，用于提升一通过算法的低秩近似精度，通过减少存储成本和预选参数，提升近似准确性。
2026-03-27 cs.NA math.NA
An Orthogonal Equivalence Theorem for Third Order Tensors
2011年，Kilmer和Martin提出了三阶张量的张量奇异值分解（T-SVD）。此后，T-SVD在低秩张量近似，张量恢复，多视图聚类，多视图特征提取，张量素描等方面都有应用。通过离散傅里叶变换（DFT），矩阵SVD和逆DFT，将三阶张量映射到f-对角三阶张量。我们称之为Kilmer-Martin映射。证明了三阶张量的Kilmer-Martin映射是不变的，如果该三阶张量与某些正交张量取T-积。基于Kilmer-Martin映射，定义了三阶张量的奇异值和T秩.因此，当一个三阶张量与某些正交张量作T-积时，它的张量管秩、T-秩、奇异值和T-奇异值是不变的。讨论了奇异值、T秩和最佳T秩一逼近的一些性质。
2021-08-10 cs.NA math.NA
Sketching Methods for Dynamic Mode Decomposition in Spherical Shallow Water Equations
动态模式分解（DMD）是一种新兴的方法，最近吸引了计算科学家的非侵入性降阶建模工作。DMD所具有的主要优势之一是具有来自Koopman逼近论的基础理论根源。事实上，DMD可以被视为著名的库普曼算子的数据驱动实现。尽管如此，DMD的稳定实现导致计算输入数据矩阵的奇异值分解。这反过来又使得该过程对高维系统的计算要求很高。为了减轻这一负担，我们开发了一个框架的基础上草图的方法，其中一个矩阵的草图是简单的另一个矩阵，这是显着较小，但仍然充分近似的原始系统。这种绘制或嵌入是通过对输入矩阵应用具有某些属性的随机变换来执行的，以产生初始系统的压缩版本。因此，许多昂贵的计算可以在较小的矩阵上进行，从而加速了原始问题的解决。我们进行的数值实验进行使用球形浅水方程作为一个原型模型的背景下，地球物理流。几种草图绘制方法的性能进行了评估，捕获的范围和范围的数据矩阵。与直接对原始输入数据进行操作的经典方法相比，所提出的基于草图的框架可以加速DMD算法的各个部分。这最终导致大量的计算增益，这对于高维系统的数字孪生至关重要。
2022-01-11 cs.NA math.DS math.NA
Beyond singular value gaps in randomized subspace approximation
Cornell University（康奈尔大学）
本文提出通过Frobenius奇异值比改进随机范围查找器的子空间质量分析，并提供更严格的概率保证。
2026-09-23 cs.NA math.NA
Sharp Analysis of Sketch-and-Project Methods via a Connection to Randomized Singular Value Decomposition
本文通过建立与随机奇异值分解的联系，为 Sketch-and-Project 方法提出了新的理论框架，首次证明收敛速度随 sketch 大小至少线性提升并支持稀疏 sketching 矩阵，解释了极端稀疏化不影响每次迭代收敛速度的现象。
2023-09-18 cs.NA math.NA math.OC
Integrating multiple random sketches for singular value decomposition
Institute of Statistical Science, Academia Sinica（中央研究院统计科学研究所）；National Taiwan University（台湾大学）
本文提出基于多种随机草图的蒙特卡洛类型整合SVD算法，通过优化问题与矩阵Stiefel流形约束，提高SVD精度与稳定性，理论分析证明其一致性，数值结果表明其有效性。
2016-08-29 cs.NA math.NA math.ST
A randomized singular value decomposition for third-order oriented tensors
由Zeng和Ng提出的定向奇异值分解（O-SVD）提供了一种基于t积的三阶张量奇异值分解的混合方法，其变换矩阵是高阶奇异值分解的因子矩阵。继续沿着这条思路，本文探讨了实现O-SVD更有效的张量列秩-1分解，并给出了截断O-SVD。受概率算法成功的启发，我们开发了一个随机版本的O-SVD，并提出了详细的误差分析。与现有的张量分解算法相比，新算法在保持良好精度的同时，在效率上具有优势。我们的主张是支持从实际应用中的几个定向张量的数值实验。
2023-02-27 cs.NA math.NA
Effective Tensor Sketching via Sparsification
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文提出一种新的张量稀疏化算法，通过合理保留张量部分元素，在保证张量谱范数近似精度的前提下，显著降低样本复杂度。对于稳定秩为r_s的k阶d×…×d立方张量，相对误差ε较大时，样本需求为r_s^{1/2}d^{k/2}/ε，ε较小时为r_s d/ε²，且高精度时与k无关。
2017-11-16 cs.IT cs.NA math.IT
Singular value decompositions of third-order reduced biquaternion tensors
本文针对彩色视频处理，提出基于新Ht-乘积的三阶约化双四元数张量SVD算法，并应用于张量方程求解和视频压缩，实验表明其速度优于对比方案。
2024-11-20 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin method for a third order singularly perturbed problem of convection-diffusion type
研究了三阶对流扩散型奇摄动问题的局部间断Galerkin（LDG）方法。基于精确解的正则性假设，我们证明了几乎$O(N^{-(k+1/2)})$（直到对数因子）能量范数一致收敛于扰动参数。这里，$k\geq 0$是在离散空间中使用的分段多项式的最大次数，并且$N$是网格元素的数量。结果对三种类型的层适应网格是有效的：Shishkin型，Bakhvalov-Shishkin型和Bakhvalov型。数值实验验证了理论结果。
2022-10-24 cs.NA math.NA
On the Noise Sensitivity of the Randomized SVD
本文在尖峰随机矩阵模型下分析随机化 SVD 的噪声敏感性，揭示其奇异值呈现类似 BBP 的相变现象，并证明其在信号检测与估计上优于朴素草图 PCA，同时推导出适用于矩阵去噪的最优奇异值收缩器。
2023-07-06 cs.IT cs.NA math.IT
A Fractional spectral method for weakly singular Volterra integro-differential equations with delays of the third-kind
针对带比例时滞和亲切算子的弱奇异Volterra积分微分方程，提出分数阶谱配置方法，证明参数合适时误差指数衰减，数值实验验证了方法有效性。
2024-09-17 cs.NA math.NA
Randomized Block Krylov Methods for Stronger and Faster Approximate Singular Value Decomposition
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文提出了一种随机块Krylov方法，该方法在理论上和实验上均优于现有的随机同时幂迭代方法，能够以更少的迭代次数提供更优的低秩近似，并解决了传统Krylov子空间方法依赖奇异值间隙的问题。
2015-10-30 cs.DS cs.LG cs.NA
Randomized Algorithms for Low-Rank Matrix and Tensor Decompositions
Oden Institute & Dept. of Mathematics, University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登研究所与数学系）
本文提出随机算法用于加速低秩矩阵和张量分解，涵盖SVD、ID、CUR等方法，并探讨其在张量分解中的应用。
2025-12-30 cs.NA math.NA
Third-order Halley-type iterative method with positive and bounded correction function
National Institute of Technology, Kagoshima College（鹿儿岛工业高等专门学校）；Kyushu University（九州大学）
本文提出一种修正函数为正且有界的Halley型三阶迭代法，避免奇异性并保持收敛性，数值实验验证其高效稳健，并成功应用于范德瓦尔斯方程。
2026-09-09 cs.NA math.NA
A tensor bidiagonalization method for higher-order singular value decomposition with applications
在数据压缩和提取中，需要知道与三阶张量的最大奇异值相关联的几个奇异三元组。本文介绍了一种新的方法，他们的计算使用的t-产品。还提出了确定与最小奇异值相关的一对奇异三元组的方法。所提出的方法推广了现有的重新启动的Lanczos双对角化方法，用于计算矩阵的最大或最小奇异三元组。本文的方法使用里兹和谐波里兹横向切片，以确定准确的近似的最大和最小的奇异三元组，分别。计算实例显示了数据压缩和人脸识别的应用。
2023-01-08 cs.NA math.NA
An Efficient Randomized Fixed-Precision Algorithm for Tensor Singular Value Decomposition
针对随机张量奇异值分解需预先估计管秩的问题，提出基于随机投影与幂迭代的固定精度算法，可自动确定最优管秩并在合成及真实数据集上验证其效率与性能。
2024-04-08 cs.NA math.NA
Quaternion tensor singular value decomposition using a flexible transform-based approach
针对$L$阶（$L\geq 3$）四元数张量，提出了一种基于柔性变换的张量积，称为$\star_{\rm{QT}}$ -积.基于$\star_{\rm{QT}}$ -积，我们定义了$L$阶（$L\geq 3$）四元数张量的相应的奇异值分解TQt-SVD和秩TQt-rank.此外，通过正交四元数变换，TQt-SVD可以提供任何$L$第（$L\geq 3$）四元数张量的最佳TQt-rank- $s$近似。在实验中，我们已经验证了所提出的TQt-SVD的最佳TQt-rank- $s$近似的三阶四元数张量表示的彩色视频中的应用的有效性。
2021-12-16 cs.NA math.NA
A Randomized Tensor Singular Value Decomposition based on the t-product
由Kilmer和Martin~ \cite{2011kilmer}提出的三阶张量的张量奇异值分解（t-SVD）在计算机断层扫描、人脸识别、视频补全等领域得到了成功的应用。在本文中，我们提出了一种方法，扩展了著名的随机矩阵方法的t-SVD。这种方法可以产生具有与t-SVD相似性质的因子分解，但在非常大的数据集上计算效率更高。我们提出的算法，理论结果的细节，并提供数值结果，显示我们的方法压缩和分析数据集的承诺。我们还提出了一个改进的分析矩阵的随机子空间迭代，这可能是独立的兴趣，科学界。
2016-09-22 cs.NA math.NA
Hot-SVD: Higher-Order t-Singular Value Decomposition for Tensors based on Tensor-Tensor Product
本文考虑将三阶张量（管矩阵）的t-SVD推广到任意阶张量（N-1阶管张量）。\color{black}这种推广不同于阶数大于3的张量的t-SVD [Martin，Shafer，Larue，SIAM J. Sci.计算：35（2013），A474-A490]。分解被称为热SVD，因为它可以被识别为HOSVD的张量-张量积版本。证明了Hot-SVD的存在性。为此，一个新的转置三阶张量。这种转置在Hot-SVD的验证中至关重要，因为它是管张量与其展开之间的桥梁。我们建立了一些性质的热SVD，类似于HOSVD，并在这样做，我们强调的观点，管张量。然后引入截断和顺序截断的Hot-SVD，其误差界为$\sqrt{N}$（对于$(N+1)$阶张量）.我们提供了数值例子来验证热SVD，截断热SVD，和顺序截断热SVD。
2022-04-21 cs.NA math.NA math.OC
