快速增长的级数是超越的
Fast-growing series are transcendental
摘要：
设$R$是$\mathbb{C}[[z]]$的一个子环，令$X \in \mathbb{C}[[z]]$ .牛顿-普氏定理意味着，如果$X$的系数相对于$R$中的级数的系数增长足够快，则$X$超越$R$。我们证明了这一结果的另一种证明，通过建立$A(X)$和$A^\prime(X)$，其中$A(T)$是一个多项式在$\mathbb{C}[[z]]$的系数之间的关系。
英文摘要：
Let $R$ be a subring of $\mathbb{C}[[z]]$, and let $X \in \mathbb{C}[[z]]$. The Newton-Puiseux Theorem implies that if the coefficients of $X$ grow sufficiently rapidly relative to the coefficients of the series in $R$, then $X$ is transcendental over $R$. We prove an alternative proof of this result by establishing a relationship between the coefficients of $A(X)$ and $A^\prime(X)$, where $A(T)$ is a polynomial over $\mathbb{C}[[z]]$.
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