笛卡尔幂中子积与子群的相交复杂性
The complexity of intersecting subproducts with subgroups in Cartesian powers
AI总结：
本文研究了有限阿贝尔群笛卡尔幂中子积与子群的相交判定问题，证明其 NP 完全性，并对固定的群和子集给出完整复杂性分类。
摘要：
给定有限阿贝尔群 $G$ 和 $t\in \mathbb{N}$，笛卡尔幂 $G^t$ 有两类自然的子集：即笛卡尔幂 $S^t$（其中 $S$ 是 $G$ 的子集）以及 $G^t$ 的子群 $H$（及其陪集）。一个基本问题是这两个集合是否相交。本文证明该判定问题是 NP 完全的。此外，对于固定的 $G$ 和 $S$，我们给出了完整的分类：确定了问题为 NP 完全的条件，并证明在所有其他情况下问题可在多项式时间内求解。这些定理在 [Spe21] 中所发展的有限生成环代数判定问题分类中起关键作用。
英文摘要：
Given a finite abelian group $G$ and $t\in \mathbb{N}$, there are two natural types of subsets of the Cartesian power $G^t$; namely, Cartesian powers $S^t$ where $S$ is a subset of $G$, and (cosets of) subgroups $H$ of $G^t$. A basic question is whether two such sets intersect. In this paper, we show that this decision problem is NP-complete. Furthermore, for fixed $G$ and $S$ we give a complete classification: we determine conditions for when the problem is NP-complete, and show that in all other cases the problem is solvable in polynomial time. These theorems play a key role in the classification of algebraic decision problems in finitely generated rings developed in [Spe21].
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