On a two-player transversal game on a square grid
Adrian Dumitrescu
我们给出了正方形网格上的\emph{transversal achievement game}的一个简短的分析，由于M。Erickson（2010）.
We give a short analysis of the \emph{transversal achievement game} on a square grid due to M. Erickson (2010).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The transversal game
本文研究在 n×n 网格中轮流占据空格以率先形成 transversal 的二人游戏，证明了当 n≥4 时先手玩家具有必胜策略，从而回答了 Erickson 提出的问题。
On the $d$-transversal number of cylindrical and toroidal grids
本文研究了圆柱形和环形网格的d-横截数，推导了其显式表达式或界限，解决了相关计算问题。
The transversal achievement game on a square grid
针对方格网格横截制胜游戏，研究者给出n≥4时先手获胜的独立证明，确定2n+3步的获胜上界，经计算验证策略有效，且主定理已在Lean 4中形式化验证。
Transversal achievement game on a square grid
本文旨在解决MartinErickson博士提出的n × n网格问题的Transmittance成果。我们使用数学归纳法和案例分析来处理这个问题，并证明了假设，即对于所有n大于1，游戏是一个平局。
Optimal strategies in fractional games: vertex cover and domination
在顶点集为$V$，边集为$E$的超图中，实值函数$f: V \to [0, 1]$是分式断面，如果对每条边$e \in E$都有$\sum_{v\in e} f(v) \ge 1$.它的大小是$|f| := \sum_{v \in V} f(v)$，分数横截数是最小可能的$|f|$。我们考虑一个游戏的情况下，两个玩家具有相反的目标逐步构建一个分数横截，试图最小化和最大化$|f|$，分别。我们证明，双方球员的战略，以实现其共同的最优，他们可以达到他们的目标，使用合理的权重。
Bounds on the Game Transversal Number in Hypergraphs
设$H = (V,E)$是一个超图，其顶点集$V$和边集$E$的阶为$\nH = |V|$，大小为$\mH = |E|$ . $H$中的截线是$H$中顶点的子集，它与$H$的每条边都有非空交集。如果顶点属于某条边，则该顶点会碰撞该边。在$H$上进行的横向游戏涉及两个玩家，\emph{Edge-hitter}和\emph{Staller}，他们轮流从$H$中选择一个顶点。所选的每个顶点必须至少命中一个未被先前所选顶点命中的边。当选择的顶点集在$H$中成为一个横截时，游戏结束。边击球者希望最小化游戏中选择的顶点数量，而Staller希望最大化它。$H$的\emph{game transversal number}，$τ_g(H)$，是边击球者开始游戏时选择的顶点数量，并且双方都是最佳选择。比较了超图的对策横截数与它的横截数，并给出了关于$τ_g$单调性的一个重要事实，我们称之为横截连续原理。已知如果$H$是一个所有边的大小至少为~ $2$的超图，且$H$不是一个$4$ -圈，则有$τ_g(H) \le \frac{4}{11}(\nH+\mH)$ ;如果$H$是一个（无环）图，则有$τ_g(H) \le \frac{1}{3}(\nH + \mH + 1)$ .证明了若$H$是$3$ -一致超图，则有$τ_g(H) \le \frac{5}{16}(\nH + \mH)$;若$H$是$…
Snort Played on Triangular Grids
本文研究图上双人着色游戏 Snort，证明在一行或两行三角形网格及多种变体中，先手采取最优策略即可获胜。
Transversal structures on triangulations: a combinatorial study and straight-line drawings
本文研究了一种特殊的组合结构，这种组合结构是外表面为四边形且无分离三角形的三角化平面图所特有的，称为不可约三角化。这种结构是由何欣以正则边标号的名义提出的，它由两个横截的双极取向组成。因此，这里使用的术语是横向结构。本文的主要结果是不可约三角剖分与三叉树之间的一个双射，以及不可约三角剖分的一个直线作图算法。对于具有$n$顶点的随机不可约三角剖分，图形的网格大小以高概率$11n/27\times 11n/27$渐近，直到添加性误差$\cO(\sqrt{n})$。相比之下，用于这些三角剖分的最佳先前已知算法仅保证网格大小$(\lceil n/2\rceil -1)\times \lfloor n/2\rfloor$。
Undirected edge geography games on grids
研究网格图\(P_m\square P_n\)上的无向边地理游戏，通过确定\(N\)位置和\(P\)位置，为获胜者给出获胜策略。
Transversals in Latin Squares
本文综述了过去十年关于Latin squares中transversals研究的最新进展。
Guaranteed successful strategies for a square achievement game on an n by n grid
在某些地方（见参考文献）马丁埃里克森描述了一个特定的游戏：“两个球员交替写O的（第一个球员）和X的（第二个球员）在一个n × n网格的未占用的单元格。第一个玩家（如果有的话）占据一个有水平和垂直边的正方形顶点的四个单元格是赢家。然后他问：“在最优博弈下，博弈的结果是什么？”或者“第一个参与者有获胜策略的最小n是多少？““对于n低于3的胜利显然是不可能的。这篇文章的目的和另外（在源代码包中）提供的计算机程序SQRGAME 2是给出并证明第二个玩家在n为3或4时不会输的策略，以及第一个玩家在n为5时获胜的策略。
Tic-Tac-Toe on an Affine Plane of order 4
井字游戏是众所周知的。特别是，在其经典版本中，它以任何一个玩家都无法获胜而闻名。虽然传统上它是在网格上玩的，但很自然地要考虑在更丰富的结构上玩游戏的效果，例如有限平面。在有限的仿射平面和射影平面上玩井字棋游戏以前已经被研究过了。虽然第二个玩家通常可以迫使平局，但对于小订单，第一个玩家可能会赢。在这方面，计算机证明在4阶的仿射平面上玩的井字游戏是第一个玩家获胜。在这篇文章中，我们使用拉丁方理论和横截设计的技巧来给出一个人类可验证的，明确的证明。
A New Dominating Set Game on Graphs
本研究提出一种新型双人图控制集博弈，刻画了先手必胜的路径与环图，构造了多种后手必胜的图类，并将博弈拓展至群结构，证明偶数阶阿贝尔群等结构上后手获胜。
Tic-Tac-Toe on Designs
本文研究了在区组设计和横截设计上的井字棋及其弱版本 Maker-Breaker 游戏，证明了第一或第二玩家在不同参数条件下的必胜策略。
On the Nature and Complexity of an Impartial Two-Player Variant of the Game Lights-Out
本文研究了 Lights-Out 的双人公平博弈变体，目标是在简单图上做出最后一步合法移动，并利用递归算法计算了该游戏在 2 x n 网格图和部分广义 Petersen 图上的 Nimbers。
The capture time of grids
考虑两棵树的笛卡儿积上的Cops和Robber对策。假设玩家完美地玩，它表明，如果有两个警察在游戏中，那么游戏的长度（称为图的2-捕获时间）等于图的直径的一半。特别地，证明了m × n网格的2-捕获时间为floor（（m+n-2）/2）.
Impartial removing games on grid graphs
本文研究网格图上的两种无偏移除博弈（达成与回避），利用延迟博弈图等工具确定了其尼姆值，并给出格图的部分结果。
Variants of Wythoff's Games with Different Terminal Sets
本文研究了经典威斯霍夫博弈的变种，通过改变终止集定义，利用斐波那契数列描述P态，无需递归。
High Temperature Domineering Positions
针对Domineering游戏最高温度为2的推测，开发了一个支持并行穷举搜索的程序，用于分析温度接近或等于2的棋局。
A Variant of Wythoff's Game Defined by Hofstadter's G-Sequence
本文研究了Wythoff游戏的一个变种，其终端集包含特定位置，P位置由Wythoff游戏和Hofstadter的G序列定义，并具有两个显著性质。
Ultrafilters, Transversals, and the Hat Game
本文构造了一个 ZF+DC 模型，证明帽子游戏存在最优解并不蕴含非主超滤子或 Vitali 集的存在，并将结论推广到任意有限颜色及更一般的 Borel 二部图着色问题。
Maker-Breaker-Crossing-Game on the Triangular Grid-graph
我们研究的$(p,q)$ -制造商断路器跨越游戏介绍日和Falgas Ravry在'制造商断路器渗流游戏I：跨越网格'。在他们的论文中描述的游戏涉及两个玩家Maker和Breaker，他们轮流声称p和q分别是图中尚未声明的边。Maker旨在创建一条从最左边顶点到最右边顶点的水平路径，而Breaker旨在防止这种情况。该游戏是更一般的香农切换游戏的一个版本，在正方形网格图上进行。我们考虑在三角形网格图$Δ_{(m,n)}$（m个顶点，n个顶点高）上进行的相同博弈，并针对给定的$(p,q,m,n)$，寻找Maker或Breaker的获胜策略。我们建立了一个类似的策略，使用的一天和Falgas Ravry表明：$\bullet$足够高的网格和$p\geq q$制造商有一个获胜的策略，$(p,q)$交叉游戏$Δ_{(m,n)}$。$\bullet$对于足够宽的网格和$4p\leq q$，Breaker在$Δ_{(m,n)}$上的$(p,q)$穿越游戏中有一个获胜的策略。
Cardinal Grid Slime Trail is PSPACE-Complete
本文证明四向移动方格网格上的 Cardinal Grid Slime Trail 是 PSPACE 完全问题，通过适配 QBF 归约设计网格兼容小工具，还将构造扩展至八向变体，解决了相关开放问题。
Maker-Breaker Percolation Games I: Crossing Grids
受渗流理论中的问题的启发，我们研究了以下两人位置博弈。设$Λ_{m \times n}$是一个矩形网格图，每行中有$m$顶点，每列中有$n$顶点。两名球员，制造者和断路器，轮流发挥。在她的每一个回合中，Maker声称$p$（尚未被声称的）板边$Λ_{m \times n}$，而在他的每一个回合中，Breaker声称$q$（尚未被声称的）板边并销毁它们。如果Maker成功占领将棋盘左侧连接到右侧的交叉路径的所有边缘，则Maker获胜，否则Breaker获胜。我们把这个游戏叫做在$Λ_{m \times n}$上的$(p,q)$穿越游戏.给定$m,n\in \mathbb{N}$，Maker在$Λ_{m \times n}$上的$(p,q)$交叉游戏中，对哪些对$(p,q)$有获胜策略？$(1,1)$ -情况完全对应于流行的Bridg-it游戏，这是很好理解的，因为它是旧香农切换游戏的特殊情况。本文研究了一般的$(p,q)$ -情形。我们的主要结果是建立以下过渡：$\bullet$如果$p\geqslant 2q$，那么Maker在任意长版本的最西棋盘上赢得游戏，即Maker对于任何$m\in \mathbb{N}$在$Λ_{m \times(q+1)}$上的$(2q, q)$交叉游戏都有获胜策略; $\bullet$如果$p\leqslant 2q-1$，则对于板的每个宽度$n$，断…
Restricted Positional Games
位置游戏是一种游戏，其中两个玩家顺序标记超图的顶点，超图由棋盘和获胜集合组成，每个玩家都被分配颜色，直到棋盘上的所有顶点都被要求。第一个要求所有元素的玩家获胜。如果没有玩家声称获胜的所有元素，那么游戏结果是平局。位置游戏的一个这样的例子是井字游戏，其中棋盘是3乘3的网格。受欢迎的游戏Connect-4就是我们定义为“受限位置游戏”的一个例子。在这里，我们介绍另一个受限制的位置游戏的例子，Connect-Tac-Toe，它还具有类似重力的限制的影响，以影响可能的游戏。它是超立方体的Connect-4博弈的推广。我们定义了一个变种的Hales-Jewett数为这个游戏的方式来分类其限制性，并提供了一个对数下界这个数字。
A proof of the Ryser-Brualdi-Stein conjecture for large even $n$
本文证明了对足够大的偶数 $n$，每个 $n$ 阶拉丁方都含有 $n-1$ 个单元格的横截线，从而解决了 Ryser-Brualdi-Stein 猜想的大偶数情形，并将方法应用于 Steiner 三元系匹配问题，证明了 Brouwer 1981 年猜想。
PackIt! Gamified Rectangle Packing
本研究提出并分析了回合制矩形装箱游戏PackIt!，推导了完美装箱的存在条件，提出含新型SAT编码技术的自动推理方法可求解n≤50的完美对局，并证明了该问题的NP-hard性。
The Game of Cycles for Grids and Select Theta Graphs
研究两名玩家轮流画箭头完成无弦循环单元的循环博弈的获胜策略，解决了涉及“堆叠”多边形的多个图类，扩展并改进了先前定理与猜想，提出了新研究方向。
Solving Abalone on Small Boards
本文通过强求解2x2x2棋盘和弱求解2x2x3棋盘上的Abalone变体，为理解全尺寸Abalone的最优策略提供启发。
Maker-Breaker total domination game
图中的Maker-Breaker全控制博弈是Duchêne，Gledel，Parreau和Renault最近研究的Maker-Breaker控制博弈的自然对应。这两个游戏都是组合制造者-破坏者游戏的实例。在图$G$上，两个局中人轮流选择图$G$的顶点，进行制造者-破坏者全控制博弈。第一个玩家，统治者，选择一个顶点，以完全支配$G$，而另一个玩家，Staller，禁止顶点统治者，以防止他达到他的目标。它表明，有无限多个连接的三次图中，Staller赢了，没有最小度条件是足以保证主导者赢得时，Staller开始游戏。一个合并引理的建立和使用，以确定在网格上玩的游戏的结果。仙人掌也根据游戏的结果进行分类。游戏和超图之间的联系。证明了该对策在分裂图和二部图上是PSPACE-完全的。也提出了一些问题和疑问。
Resolution of Conjectures Related to Lights Out! and Cartesian Products
熄灯了！是在$5 \times 5$灯网格上玩的游戏，或者更一般地在图形上玩。按下网格上的灯可以让玩家关闭相邻的灯。游戏的目标是从一个给定的初始配置开始点亮灯，并达到所有灯都熄灭的状态。在最近发表的一篇关于熄灯的论文中，有两个人摆出了姿势！解决了图的笛卡儿积的一些问题。
Beyond transversality: structure of Clifford circuits for CSS codes
本文刻画了与容错逻辑操作相关的四类CSS码的Clifford电路结构，定义了二重横截群等，确定了136个CSS码的二重横截群逻辑像，发现78个码的完整逻辑Clifford群由二重横截电路生成，还构造了三类CSS码。
Misère Partizan Arc Kayles is PSPACE-complete, even on Planar Graphs
本文证明了在平面图上误败部分人弧凯勒游戏是PSPACE完全的，并展示了其在网格上的嵌入方法及相关逻辑变体。
Misere Connect Four is Solved
本文求解了 Misere Connect Four，证明双方完美对弈时后手必胜，并给出在 w×h 棋盘上 Misere Connect k 依参数而定的胜负或平局构造性策略。
Paintbucket on graphs is PSPACE-complete
针对 Amundsen 和 Erickson 提出的 Paintbucket 游戏，本文研究其在任意简单图上的推广形式，证明判断该推广游戏给定局面获胜者的问题为 PSPACE 完全，解决了相关复杂性问题。
The general position avoidance game and hardness of general position games
本文研究图上的一般位置达成与避免博弈，证明其在直径至多为4的图上为PSPACE-complete，并给出特定图类中避免博弈获胜者的线性时间判定算法。
The domatic number game played on graphs
本文提出了基于图不变量的支配数博弈，证明了任意图博弈支配数的上界，并求出树、完全二部图、圈及部分网格图的精确值，同时提出了若干开放问题。
On the parameterized complexity of the Maker-Breaker domination game
本文研究Maker-Breaker支配游戏的参数复杂性，证明其在不同参数下具有W[2]-完全和W[1]-完全的计算复杂性，并提供多种参数化的FPT算法。
Further results on the Hunters and Rabbit game through monotonicity
本文为 Hunters and Rabbit 游戏引入单调策略，证明单调 hunter number 夹在路径宽度及其加一之间，并给出多类图的算法、树中任意差距及以顶点覆盖为参数的 FPT 结果。
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