我们证明了依赖选择公理$\operatorname{DC}$在$\operatorname{ZF}+\operatorname{DC}_{\mathbb{R}^{\mathcal{M}}}$背景宇宙中，在满足确定性公理$\operatorname{AD}$的实数上构造的可数可迭代被动前小鼠$\mathcal{M}$中成立。这推广了Kechris使用Steel对小鼠鳞片的分析对$L(\mathbb{R})$的论证。特别地，我们证明了，对于任何$n \leq ω$和任何可数集的真正$A$，使$M_n(A) \cap \mathbb{R} = A$和$M_n(A) \vDash \operatorname{AD}$，我们有$M_n(A) \vDash \operatorname{DC}$。

2019-07-05math.LO

最优确定性假设下具有多个Woodin基数的小鼠

Mice with finitely many Woodin cardinals from optimal determinacy hypotheses

我们证明了第三作者的结果。令$n \geq 1$。如果$\boldsymbolΠ^1_n$确定性和$Π^1_{n+1}$确定性都为真，并且不存在两两不同实数的$\boldsymbolΣ^1_{n+2}$ -可定义的$ω_1$ -序列，则$M_n^\#$存在并且是$ω_1$ -可迭代的。证明了$\boldsymbolΠ^1_{n+1}$确定性意味着$M_n^\#(x)$存在，并且对所有实数$x$是$ω_1$ -可迭代的.一个结果是任意$n \geq 1$的确定性转移定理，即$\boldsymbolΠ^1_{n+1}$确定性隐含$\Game^{(n)}(<ω^2 - \boldsymbolΠ^1_1)$确定性的陈述。

2019-02-15math.LO

最优确定性假设下具有多个Woodin基数的Lightface小鼠

Lightface mice with finitely many Woodin cardinals from optimal determinacy hypotheses

浅色$Δ^1_{2n+2}$和黑体$\boldsymbolΠ^1_{2n+1}$集合的确定性意味着存在$(ω, ω_1)$ -可迭代的$M_{2n+1}^{\#}$。

2016-10-07math.LO

$Δ^1_1$确定性和$\aleph_{ω_1}$的变化

Variations on $Δ^1_1$ Determinacy and $\aleph_{ω_1}$

我们考虑了$Δ^1_1$图灵决定性的一种看似较弱的形式。设$2 \leq ρ< ω_1^{\textrm{CK}}$，$\textrm{Weak-Turing-Det}_ρ(Δ^1_1)$是这样的陈述：每一个$Δ^1_1$在图灵度中共尾的实数集合包含两个图灵不同的，$Δ^0_ρ$等价的实数。我们在$\textrm{ZF}^-$中证明：$\textrm{Weak-Turing-Det}_ρ(Δ^1_1)$意味着：对于每个$ν< ω_1^{\textrm{CK}}$，都有一个传递模型：$M \models \textrm{ZF}^- + \aleph_ν\textrm{ exists}$。作为推论：如果每一个图灵度的共尾$Δ^1_1$集合都包含一个度和它的跳跃，那么对于每一个$ν< ω_1^{\textrm{CK}}$，都有一个传递模型：$M \models \textrm{ZF}^- + \aleph_ν\textrm{ exists}$。--通过一个简单的证明，这改进了哈维·弗里德曼在博雷尔确定性的基础上的一个著名结果（尽管没有逐层评估）。--引用Tony Martin对Borel确定性的证明，$\textrm{Weak-Turing-Det}_ρ(Δ^1_1)$蕴含$Δ^1_1$确定性。我们进一步表明，$Δ^1_1$确定性赋予弱确定性性质的类$Σ^1_1$。

2022-06-17math.LO

来自决定性模型的共尾强Chang猜想

The Cofinal Strong Chang Conjecture from Models of Determinacy

通过修改Woodin的证明，表明从决定性模型使用P_max力迫得到的模型满足更强的共尾版本的强Chang猜想，并由此证明Namba力迫是半正常的且Θ^{UB}=ω_3的一致性，以及Woodin (*)_{UB}公理蕴含该猜想。

2026-06-02math.LO

理想与强决定性公理

Ideals and Strong Axioms of Determinacy

我们证明了以下两个理论是等相容的：（T）ZFC，CH和“在第一不可数基数上有一个稠密理想，使得如果j是与它相关联的类属嵌入，则它对序数的限制与类属对象无关”. (S)ZF，ADR和“Theta是一个正则基数。“本文的主要结果是T蕴涵S的极小模型存在。Woodin在未发表的著作中指出，S的一致性意味着T的一致性。我们也将给出这个结果的一个证明，它与我们的主要定理一起建立了T和S的等同性。我们的主要结果部分地解决了Woodin的一个著名猜想，并完全解决了一个可以追溯到90年代的主要核心模型归纳问题。

2022-09-20math.LO

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$\mathrm{TD}$和$\mathrm{sTD}$的一些结果

Some consequences of $\mathrm{TD}$ and $\mathrm{sTD}$

强图灵确定性，或$\mathrm{sTD}$，说的是，对于任何实数集合$A$，如果$\forall x\exists y\geq_T x (y\in A)$，那么有一个指向的集合$P\subseteq A$。我们证明了图灵确定性（$\mathrm{TD}$）和$\mathrm{sTD}$的下列结论：（1）. $\mathrm{ZF+TD}$表示弱依赖选择（$\mathrm{wDC}$）。（二）、$\mathrm{ZF+sTD}$蕴涵了每一个实数集都是可测的，并且具有Baire性质.（三）、$\mathrm{ZF+sTD}$蕴含了每个不可数实数集都有一个完美子集。（四）、$\mathrm{ZF+sTD}$意味着对于任何实数集$A$和任何$ε>0$，（a）存在一个闭集$F\subseteq A$，使得$\mathrm{Dim_H}(F)\geq \mathrm{Dim_H}(A)-ε$。(b)存在一个封闭集合$F\subseteq A$，使得$\mathrm{Dim_P}(F)\geq \mathrm{Dim_P}(A)-ε$。

2021-08-17math.LO

关于$ω_1$的超紧性

On supercompactness of $ω_1$

本文研究了$ω_1$在$\sf{ZF}$下超紧性的结构结果。我们证明了依赖选择公理$(\sf{DC})$是由“$ω_1$是超紧的”得出的.“$ω_1$是超紧的”也意味着$\sf{AD}^+$，确定性公理$(\sf{AD})$的加强，等价于$\sf{AD}_\mathbb{R}$。证明了“$ω_1$是超紧的”并不意味着$\sf{AD}$ .人们所能期望的最多是Suslin co-Suslin确定性。我们表明，这是从“$ω_1$是超紧”和Hod对捕获$(\sf{HPC})$，一个内部模型理论假设，规定了一定的小宇宙的条件集。“$ω_1$是超紧的”本身就意味着每一个Suslin co-Suslin集都是一个确定的（实际上是齐次Suslin）集的投影。“$ω_1$是超紧的”也意味着Chang模型中的所有集合都具有所有常见的正则性，如勒贝格可测性和Baire性质。

2019-04-03math.LO

$AD_{\mathbb{R}}$意味着所有实数集都是$Θ$泛Baire

$AD_{\mathbb{R}}$ implies that all sets of reals are $Θ$ universally Baire

$AD_{\mathbb{R}}$是实数上博弈的确定性公理（即，玩家玩真的。我们表明，它意味着所有的实数集是θ-普遍Baire。作为推论，我们得到了一个模型，其中$AD$成立，所有实数集都是完全泛Baire的.这一模型最早由Larson、Sargsyan和Wilson提出。我们的结果补充它的技术是纯粹的描述集理论。

2021-10-12math.LO