Hard Problems That Quickly Become Very Easy
Barnaby Martin, Daniël Paulusma, Siani Smith
一个图类是遗传的，如果它在顶点删除下是封闭的。我们给出了NP-难，PSPACE-完全和NEXPTIME-完全问题的例子，这些问题对于每个不等于所有图的类的遗传图类都是常数时间可解的。
A graph class is hereditary if it is closed under vertex deletion. We give examples of NP-hard, PSPACE-complete and NEXPTIME-complete problems that become constant-time solvable for every hereditary graph class that is not equal to the class of all graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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What's Up with Downward Collapse: Using the Easy-Hard Technique to Link Boolean and Polynomial Hierarchy Collapses
在过去的十年中，九篇论文已经获得了越来越强的后果，从布尔或有界查询层次结构崩溃的假设。这九篇论文的最后四篇论文实际上实现了向下崩溃-也就是说，它们表明高水平的崩溃会导致（以前认为的）较低复杂性水平的崩溃。例如，对于每个$k\geq 2$，现在已知如果$\psigkone=\psigktwo$，则$\ph=\sigmak$。本文综述了这九篇论文的历史、结果和技术-所谓的简单-困难方法。
Easy Sets and Hard Certificate Schemes
简易证书集只能有简易证书方案吗？在本文中，我们研究了集合类，对于所有NP证书方案（即，NP机器），总是有容易的验收证书（即，接受路径），其可以在多项式时间中计算。我们还研究了一类集，所有NP证书计划，无限往往容易接受证书。特别是，我们提供这些类的相对广义Kolmogorov复杂性的等价刻画，表明他们是强大的。我们还提供了结构性条件-关于免疫和类崩溃-这两个类的大小上界和下界。最后，我们提供了负面的结果表明，我们的一些积极主张是最佳的相对化。我们的负面结果证明使用一个新的观察：我们表明，经典的“宽间距”的预言机建设技术产生即时的非双免疫的结果。进一步，我们建立了一个结果，改进了Baker，Gill和Solovay的经典结果：NP \neq P = NP \cap coNP在某些相对化世界中成立.
2048 is (PSPACE) Hard, but Sometimes Easy
我们证明了一个变种的2048，一个流行的在线益智游戏，是PSPACE完全的。我们的硬度结果保持一个版本的问题，玩家有甲骨文访问计算机玩家的举动。具体而言，我们表明，对于$n \times n$游戏板$\mathcal{G}$，计算一系列的移动，以达到特定的配置$\mathbb{C}$从初始配置$\mathbb{C}_0$是PSPACE完成。我们的约简来自非确定性约束逻辑（NCL）。我们还表明，确定是否存在一个固定的序列的移动$\mathcal{S} \in \{\Uparrow, \Downarrow, \Leftarrow, \Rightarrow\}^k$的长度$k$，结果在一个获胜的配置为$n \times n$游戏板是固定参数易处理（FPT）。我们描述了一个算法来解决这个问题的$O(4^k n^2)$时间。
Easy/Hard Transition in k-SAT
建立了CNF公式可满足性的一个启发式模型过程，并用m（子句数）、n（变量数）和子句填充k的非线性递归关系来描述.由递归模拟的系统经历了从有界运行时间（容易）到不受控制的失控行为（困难）的急剧转变。因此，参数空间被分成具有模型过程的定性不同效率的区域。过渡的结果从竞争的指数爆破的分支与正交条款的数量不断增长。
Are stable instances easy?
我们引入了离散优化问题的稳定实例的概念，并认为在许多实际情况下，只有足够稳定的实例是感兴趣的。问题是，NP难问题的稳定实例是否更容易解决。特别是，是否存在算法，解决正确的，并在多项式时间所有足够稳定的情况下，一些NP-困难的问题。本文着重于最大-切问题，我们表明，这确实是这样的。
The nonnegative rank of a matrix: Hard problems, easy solutions
使用初等线性代数，我们开发了一种技术，导致解决两个广为人知的问题的非负矩阵。首先，我们给出了Vavasis的结果的一个简短证明，说明矩阵的非负秩是NP-难计算的。这个证明基本上包含在江和Ravikumar的论文中，他们在Vavasis工作的15年前以不同的方式讨论了这个话题。其次，我们提出了一个解决问题的科恩和Rothblum的理性非负因子分解，这是在1993年提出的，并保持开放。
Hamiltonicity is Hard in Thin or Polygonal Grid Graphs, but Easy in Thin Polygonal Grid Graphs
在2007年，Arkin等人开始系统地研究正方形、三角形或六边形网格图上的哈密顿循环问题的复杂性，这些网格图仅限于多边形、薄网格、超薄网格、度有界网格或实心网格图。他们解决了这些问题的许多组合，证明它们是多项式可解的或NP完全的，但留下了三个组合。在本文中，我们证明了其中两个未解的组合是NP-完全的：正方形多边形网格图的哈密尔顿性和非均匀细网格图的哈密尔顿性。我们还考虑了一个新的限制，网格图是薄的和多边形，并证明了哈密尔顿性，然后成为多项式可解的正方形，三角形和六边形网格图。
Problems hard for treewidth but easy for stable gonality
我们表明，一些自然的问题，XNLP-硬（这意味着W[t]-硬度的所有t）时，参数化的路径宽度或树宽，成为FPT时，参数化的稳定性，一种新的图形参数的基础上，从图到树的最佳映射。我们考虑的问题是经典的流和方向问题，例如具有下界的无向流（如Itai所示，它是强NP完全的），最小最大出度（Szeider证明了树宽的W[1]-硬度），以及容量限制优化问题，例如容量限制（红-蓝）支配集（Dom，Lokshtanov，Saurabh和Villanger证明了W[1]-硬度）。我们的硬度证明（击败现有的结果）使用减少到最近的XNLP完全问题（接受非确定性检查计数器机器）。新的容易参数化的算法使用一种新的概念加权树分区与相关的参数，我们称之为树宽，灵感来自Seese的概念的树部图，以及从动态规划和整数线性规划的技术。
Robust Fitting in Computer Vision: Easy or Hard?
鲁棒模型拟合在计算机视觉中起着至关重要的作用，对鲁棒拟合算法的研究一直很活跃。可以说，计算机视觉中最流行的鲁棒拟合范例是共识最大化，它致力于找到使内点数量最大化的模型参数。尽管共识最大化算法有了重大发展，但在计算机视觉文献中缺乏对该问题的基本分析。特别是，共识最大化是否是“易处理的”仍然是一个问题，没有严格处理，从而使其难以评估和比较所提出的算法的性能，相对于什么是理论上可以实现的。为了阐明这些问题，我们提出了几个计算硬度的共识最大化的结果。我们的研究结果强调了这个问题的根本棘手性，并解决了文献中存在的几个歧义。
General and Fractional Hypertree Decompositions: Hard and Easy Cases
超树分解，以及更强大的广义超树分解（GHD）和更一般的分数超树分解（FHD）是超图分解方法，成功地用于回答合取查询和解决约束满足问题。每个超图H都有一个与这些分解方法相关的宽度：它的超树宽度hw（H），它的广义超树宽度ghw（H），和它的分数超树宽度fhw（H）。已知对于固定的k，可以在多项式时间内检查hw（H）<= k，而对于任何大于或等于3的k，检查ghw（H）<= k是NP完全的。对于固定的k，检查fhw（H）<= k的复杂性已经公开了十多年。我们通过证明检查fhw（H）<= k是NP完全的，即使k=2也是NP完全的，从而解决了这个公开问题。同样的构造也允许我们证明检查ghw（H）<= k（k=2）的NP完全性。在证明这些硬度的结果，我们确定有意义的限制，检查有界生长激素或FHW变得易于处理。
Reconfiguration of Satisfying Assignments and Subset Sums: Easy to Find, Hard to Connect
我们考虑了重构问题的计算复杂性，其中一个是给定的两个组合配置满足某些约束，并要求转换成另一个使用初等变换，同时满足约束在任何时候。这样的问题在许多环境中自然出现，例如模型检验、运动规划、枚举和采样以及娱乐数学。我们在这个家庭，其中的约束和操作是特别简单的问题提供硬度的结果。更确切地说，我们证明了PSPACE的完整性以下决策问题：$\bullet$给定两个满意的分配到一个平面单调的情况下，不全等于3-SAT，可以一个分配转化为其他单变量“翻转”（分配变化），保持可满足性在每一步？$\bullet$给定一个整数集合S的两个子集具有相同的和，一个子集是否可以通过一次添加或删除S的最多三个元素而转换为另一个子集，使得中间子集也具有相同的和？给定$\bullet$中的两个点包含在由常数个线性不等式指定的多面体P中，在n-超立方体中是否有一条路连接这两个点并包含在P中？这些问题可以被解释为NP标准问题的重构类似物。有趣的是，在我们的约简中，作为重新配置问题的输入出现的NP问题的实例可以被证明位于P中。特别是，S的元素和定义P的不等式的系数可以被限制为具有对数位长。
Easy and hard functions for the Boolean hidden shift problem
研究了布尔隐移位问题的量子查询复杂度。给定一个已知的布尔函数f的oracle访问f（x+s），任务是确定n位字符串s。这个问题的量子查询复杂度强烈依赖于f。我们证明了这个问题的最简单的实例对应于弯曲的功能，在这个意义上说，一个确切的一个查询算法存在，当且仅当函数弯曲。我们部分描述了最难的实例，其中包括delta函数。此外，我们表明，这个问题是很容易的随机函数，因为两个查询就足够了。我们的随机函数算法是基于对某个状态的几个副本进行相当好的测量;它的分析依赖于傅里叶变换。我们还使用这种方法来改进量子拒绝采样方法的布尔隐藏移位问题。
Hard and Easy Instances of L-Tromino Tilings
我们研究了在正方形晶格中的L形trominoes区域的平铺。一般来说，判定任意区域是否存在具有L-trominoes的瓦片是NP完全的，尽管如此，我们还是确定了对该问题的限制，即它要么保持NP完全，要么具有多项式时间算法。首先，我们描述的可能性时，阿兹特克矩形和阿兹特克钻石有一个L-特罗米诺瓷砖。然后，我们研究了任意区域的平铺只有$180^\circ$旋转的L-特罗米诺。对于这种特殊的情况下，我们表明，决定存在的瓷砖仍然是NP-完全的，但是，如果一个区域不包含某些所谓的“禁止polyominoes”作为子区域，那么存在一个多项式时间算法决定瓷砖。
Easy and Hard Constraint Ranking in OT: Algorithms and Complexity
我们考虑的问题，排名一组OT约束的方式与数据一致。我们加快Tesar和Smolensky的RCD算法是线性的约束的数量。这找到了一个排名，所以每个证明形式x_i击败或平局一个特定的竞争对手y_i。我们还推广了RCD，使每个x_i击败或追平所有可能的竞争对手。唉，这个更现实的学习版本没有多项式算法，除非P=NP！事实上，甚至一代人也没有。因此，我们无法在蛮力的基础上进行定性的改进：如果曲面形式被完全观测到，那么仅仅检查一个（给定的）排序与给定的形式是否一致就是coNP完全的，否则就是Delta_2^p完全的。事实上，OT生成是OptP完全的。至于排序，如果形式被完全观察到，则确定是否存在任何一致的排序是coNP困难的（但在Delta_2 ^p中），如果不存在，则Sigma_2^p是完全的。最后，我们表明，生成和排名更容易在派生理论：在P，NP-完全。
Where are the really hard manipulation problems? The phase transition in manipulating the veto rule
投票是一种简单的机制，可以聚合代理人的偏好。许多投票规则被证明是NP难操纵的。然而，最近的一些理论结果表明，这种复杂性可能只是在最坏的情况下，因为操纵往往是很容易在实践中。在本文中，我们表明，实证研究是有用的，在提高我们对这个问题的理解。我们证明，有一个平稳过渡的概率，联盟可以选出一个所需的候选人使用否决权规则的规模的操纵联盟的增加。我们表明，重新标度的概率曲线显示一个简单的和普遍的形式独立的问题的大小。我们认为，操纵的否决权规则是渐近容易许多独立和同分布的选票，即使在联盟的操纵者是关键的大小。基于这一论点，我们确定了一种情况下，操纵是计算困难的。这是当选票高度相关，选举是“挂”。然而，我们表明，即使是一个不相关的选民也足以使操纵再次变得容易。
Pure Nash Equilibria: Complete Characterization of Hard and Easy Graphical Games
我们考虑了图博弈中纯纳什均衡的计算复杂性。众所周知，该问题一般是NP完全的，但易于处理（即，在P中）对于特殊的图类，例如那些有界树宽的图。然后很自然地问：是否有可能为这个问题刻画所有易处理的图类？在这项工作中，我们提供了这样的情况下，有界度图的表征，从而解决现有的硬度和易处理的结果之间的差距。特别地，我们分析了PUREGG（C，-）的复杂性，确定纯纳什均衡存在的图形游戏，其基础图被限制为C类的问题。证明了在合理的复杂性理论假设下，对于任意有界入度的递归可扩有向图类C，PUREGG（C，-）是多项式时间的当且仅当C的约化图（迭代去除汇点得到的图）具有有界树宽.我们还给出了一个表征PURECHG（C，-），确定存在的纯纳什均衡的着色超图游戏，游戏表示，可以表达的额外结构，一些球员有相同的局部效用函数的问题。我们证明了有界着色超图博弈的易处理类正是那些其约化图具有有界树宽模同态等价的类。我们的证明新的使用Grohe的表征同态问题的复杂性。
A Finitely presented group whose word problem has sampleable hard instances
自然计算问题的困难实例往往是难以捉摸的。在这篇笔记中，我们提出了一个自然决策问题的例子，一个词的问题，为某一特定的群，其困难的情况是很容易找到的。更准确地说，这个问题有一个复杂的核心，可以在线性时间内采样。
Locality of not-so-weak coloring
许多图问题是局部可检验的：如果一个解在所有常数半径邻域中看起来都是有效的，那么它是全局可行的。这个想法在Naor和Stockmeyer（1995）引入的局部可检查标签（LCL）的概念中得到了形式化。最近，Chang等人（2016）表明，在有界度图中，每个LCL问题都属于以下类别之一：-“简单”：可以在$O(\log^* n)$轮中使用确定性和随机分布式算法求解。- “硬”：至少需要具有确定性的$Ω(\log n)$轮和具有随机分布式算法的$Ω(\log \log n)$轮。因此，对于任何参数化的LCL问题，当我们从局部问题转向全局问题时，会有一个复杂度突然从容易跳到困难的点。例如，对于$d$ -正则图中的顶点着色，现在已知这种跳跃恰好是在$d$颜色上：用$d+1$颜色着色很容易，而用$d$颜色着色很难。然而，目前还不清楚当人们看到有缺陷的着色时，这种跳跃发生在哪里。为了研究这个问题，我们定义$k$ -部分$c$ -着色如下：节点标记为$1$和$c$之间的数字，每个节点至少与$k$正确着色的边关联。已知$1$ -部分$2$ -着色（a.k.a.弱$2$ -着色）对于任何$d \ge 1$都是容易的。作为我们的主要结果，我们表明，$k$ -部分$2$ -着色成为硬尽快$k \ge 2$，无论我们有多大的$d$。我们还表明，这与$k$ -部分$3$ -着色有根本不同：无论我们选择哪种$k…
Characterizing the easy-to-find subgraphs from the viewpoint of polynomial-time algorithms, kernels, and Turing kernels
本文研究了与求子图有关的两个基本问题：（1）给定图G和H，Subgraph Test问H是否同构于G的一个子图;（2）给定图G，H和一个整数t，Packing问G是否包含t个与H同构的点不交子图。对于任意图类F，设F-子图检验和F-填充是H被限制在F中的两个问题的特殊情况。我们的目标是研究哪些类F使这两个问题在以下意义之一中变得易于处理：*（随机）多项式时间可解，* 承认多项式（多1）内核，或 * 承认多项式图灵内核（即具有自适应多项式时间过程，将问题减少到多项式数量的实例，每个实例的大小由解的大小多项式限制）。我们确定了一个简单的组合属性，这样，如果一个遗传类F有这个属性，那么F-包装承认一个多项式内核，并没有多项式（多一）内核，否则，除非多项式层次崩溃。此外，如果F不具有此性质，则F-包装是WK[1]-hard，W[1]-hard或Long Path-hard，证明它也不接受多项式图灵核。对于F-子图测试，我们证明了如果遗传类F的每个图都满足可以删除有界数目的顶点使得每个剩余分支的大小至多为2的性质，则F-子图测试在随机多项式时间内是可解的，否则是NP-难的.本文引入了一个组合性质，称为（a，b，c，d）-可裂性，并证明了：如果遗传类F中的每个图都具有这一性质，则F-子图测试具有多项式图灵核，并且它是WK[1]-硬的，W[1]-硬的，或长路径-硬的，否则，F-子图测试具有多项式…
Directed Temporal Tree Realization for Periodic Public Transport: Easy and Hard Cases
研究有向周期性时间图实现问题，引入最小松弛参数刻画树形拓扑的复杂性阈值，并证明周期为2时一般图上的NP难解性。
It's Not Easy Being Three: The Approximability of Three-Dimensional Stable Matching Problems
1976年，Knuth提出了稳定婚姻问题（SMP）是否可以推广到由3个性别组成的婚姻。在1988年，Alkan指出，SMP对3种性别的自然推广（$3$ GSM）不需要承认稳定的婚姻。三年后，Ng和Hirschberg证明了确定给定的偏好是否允许稳定的婚姻是NP完全的。进一步证明了$3$ person stable assignment（$3$ PSA）问题的类似结果。根据Ng和Hirschberg关于$3$ GSM和$3$ PSA的NP-困难结果，我们开始了这些问题的近似形式的研究.特别是，我们描述了两个优化变体的$3$ GSM和$3$ PSA：最大稳定婚姻/匹配（MSM）和最大稳定子婚姻/子匹配（MSS）。我们表明，这两种变体是NP-难近似在一些固定的常数因子。相反，我们描述了一个简单的多项式时间算法，计算常数因子近似的最大稳定的婚姻和匹配问题。因此，MSM的两种变体都是APX完全的。
Reducibility among NP-Hard graph problems and boundary classes
本文提出了一种将一个 NP-hard 图问题的边界类转换为另一个问题边界类的方法，揭示了可归约性与边界类的关系，并据此发现了多个图问题的未知边界类。
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