自动序列的字符串吸引子
String Attractors for Automatic Sequences
AI总结：
本文研究了自动序列的字符串吸引子问题，证明了给定自动序列和常数时判断所有前缀是否存在限定大小的字符串吸引子是可判定的，并给出了多种序列字符串吸引子大小的上下界。
摘要：
我们证明了，给定一个自动序列 $\bf s$ 和一个常数 $c$，判断 $\bf s$ 的所有前缀是否具有大小 $\leq c$ 的字符串吸引子是可判定的。利用基于此结果的决策过程，我们证明了长度 $\geq 2$ 的周期倍增序列的所有前缀都具有大小为 $2$ 的字符串吸引子。我们还对其他序列证明了类似的结果，包括 Thue-Morse 序列和 Tribonacci 序列。我们还为不同类型的序列提供了字符串吸引子大小的通用上下界。例如，如果 $\bf s$ 具有有限的 appearance 常数，则 ${\bf s}[0..n-1]$ 存在大小为 $O(\log n)$ 的字符串吸引子。如果进一步 $\bf s$ 是线性递归的，则 ${\bf s}[0..n-1]$ 存在大小为 $O(1)$ 的字符串吸引子。对于自动序列，${\bf s}[0..n-1]$ 的最小字符串吸引子的大小要么是 $Θ(1)$ 要么是 $Θ(\log n)$，并且发生哪种情况是可判定的。最后，我们以关于贪心字符串吸引子的一些评论作结。
英文摘要：
We show that it is decidable, given an automatic sequence $\bf s$ and a constant $c$, whether all prefixes of $\bf s$ have a string attractor of size $\leq c$. Using a decision procedure based on this result, we show that all prefixes of the period-doubling sequence of length $\geq 2$ have a string attractor of size $2$. We also prove analogous results for other sequences, including the Thue-Morse sequence and the Tribonacci sequence. We also provide general upper and lower bounds on string attractor size for different kinds of sequences. For example, if $\bf s$ has a finite appearance constant, then there is a string attractor for ${\bf s}[0..n-1]$ of size $O(\log n)$. If further $\bf s$ is linearly recurrent, then there is a string attractor for ${\bf s}[0..n-1]$ of size $O(1)$. For automatic sequences, the size of the smallest string attractor for ${\bf s}[0..n-1]$ is either $Θ(1)$ or $Θ(\log n)$, and it is decidable which case occurs. Finally, we close with some remarks about greedy string attractors.
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