非交换上同调与通过$\boldsymbolβ$-Nijenhuis--Richardson括号的Hom代数扩张
Non-abelian cohomology and extensions of Hom-algebras via the $\boldsymbolβ$-Nijenhuis--Richardson bracket
AI总结：
本文利用$β$-Nijenhuis--Richardson括号构建Hom-Leibniz代数的上同调理论，通过左、右版本括号定义分次李代数结构，证明分裂扩张等价类与第二上同调空间双射，推广经典结果并刻画低维情形。
摘要：
本文利用$β$-Nijenhuis--Richardson括号发展了Hom-Leibniz代数的上同调理论，并将其应用于非交换扩张的分类。我们引入了该括号的左、右版本，每个版本均在$β$-上链空间上定义了分次李代数结构。主要结果表明，Hom-Leibniz代数$L$由$V$生成的分裂扩张的等价类与第二上同调空间$H^2(L,V)$存在双射对应，推广了李代数和Leibniz代数理论中的经典结果。我们通过2-上循环$(λ_l,λ_r,θ)$明确刻画了扩张，并提供了低维情形的完整分类。
英文摘要：
This paper develops a cohomology theory for Hom-Leibniz algebras using the $β$-Nijenhuis--Richardson bracket and applies it to classify non-abelian extensions. We introduce left, and right versions of the bracket, each defining a graded Lie algebra structure on the space of $β$-cochains. The main result establishes that equivalence classes of split extensions of a Hom-Leibniz algebra $L$ by $V$ are in bijection with the second cohomology space $H^2(L,V)$, generalizing classical results from Lie and Leibniz algebra theory. We characterize extensions explicitly through 2-cocycles $(λ_l, λ_r, θ)$ and provide complete classifications of low-dimensional cases.
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