2+1 维平坦辐射时空的 Alexandrov 定理
Alexandrov Theorem for 2+1 flat radiant spacetimes
AI总结：
本文通过改造 Volkov 的变分方法，为 Fillastre 定理提供了构造性证明，并推广了该定理：证明对任意带锥奇点的闭局部欧几里得曲面，存在唯一的局部 Minkowski 3-流形及其中的凸多面体，使其边界与给定曲面等距。
摘要：
Alexandrov 的一个经典定理指出，将三维欧几里得空间中的凸多面体映射到其边界，是从全等意义下的凸多面体集合到二维球面上带有小于 $2π$ 的锥奇点的局部欧几里得度量的等距类集合的一一对应。Fillastre 通过将高亏格曲面的万有覆盖嵌入三维 Minkowski 空间作为 Fuchsian 多面体的边界，证明了对于带有大于 $2π$ 的锥奇点的高亏格曲面上的局部欧几里得度量的类似结论。Alexandrov 和 Fillastre 的原始证明都依赖于区域不变性定理，因此不是构造性的。Volkov 在其博士论文中给出了 Alexandrov 定理的一个变分证明，因而是构造性的，该证明后来被 Bobenko、Izmestiev 和 Fillastre 推广。本文进一步推进了这一工作，通过改造 Volkov 的变分方法，给出了 Fillastre 定理的一个构造性版本，并推广了 Fillastre 的结果：我们证明，对于任意带有任意角度 $(θ_i)_{1 \leq i \leq s}$ 的锥奇点的闭局部欧几里得曲面 $Σ$，以及任意满足 $κ_i<θ_i$ 且 $κ_i\leq 2π$ 的 Lorentz 角 $(κ_i)_{1\leq i\leq s}$ 的选取，存在一个具有线性全息和锥奇点 $(κ_i)_{1\leq i\leq s}$ 的局部 Minkowski 3-流形 $M$，以及 $M$ 中的一个凸多面体 $P$，使得 $P$ 的边界与 $Σ$ 等距；此外，这样的二元组 $(M,P)$ 是唯一的。
英文摘要：
A classical Theorem of Alexandrov states that the map associating its boundary to a convex polyhdedron of the 3-dimensional Euclidean space is a bijection from the set of convex polyhdedron up to congruence to the set of isometry classes of locally Euclidean metric on the 2-sphere with conical singularities smaller that $2π$. Fillastre proved a similar statement for locally Euclidean metric on higher genus surfaces with conical singularities bigger than $2π$ by embedding their universal covering in 3-dimensional Minkowski space as the boundary of Fuchsian polyhedra. The original proofs of Alexandrov and Fillastre both rely on invariance of domain Theorem hence are not effective. Volkov, in his thesis, provided a variational, hence effective, proof of Alexandrov Theorem which has then been generalised by Bobenko, Izmestiev and Fillastre. The present work goes further by adapting Volkov's variational method to provide an effective version of Fillastre Theorem and extend Fillastre's result: we show that for any closed locally Euclidean surface $Σ$ with conical singularities of arbitrary angles $(θ_i)_{1 \leq i \leq s }$ and any choice of Lorentzian angles $(κ_i)_{1\leq i\leq s}$ such that $κ_i<θ_i$ and $κ_i\leq 2π$, there exists a locally Minkoswki 3-manifold $M$ of linear holonomy with conical singularities $(κ_i)_{1\leq i\leq s}$ and a convex polyedron $P$ in $M$ whose boundary is isometric to $Σ$; furthermore such a couple $(M,P)$ is unique.
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